Demostrar :
El orden de cada elemento de un grupo finito es finito y es menor o igual que el orden del grupo.
Prueba :
Supongamos que G es un grupo finito, la composición se denota multiplicativamente. Supongamos que a ∈ G, considere todas las potencias integrales positivas de a, es decir, a, a 2 , a 3 , ……
Todos estos son elementos de G, por axioma de cierre.
Dado que G tiene un número finito de elementos, todas estas potencias integrales de a no pueden ser elementos distintos de G.
Suponer,
ar = as where r > s
Ahora
ar = as => ar . a-s = as . a-s (multiplying both sides by a-s ) => ar . a-s = a0 ( as-s = a0) => ar . a-s = e => am = e, where m = r - s
Ya que
r > s
Por lo tanto, ‘m’ es un entero positivo. Por tanto, existe un entero positivo m tal que a m = e.
Ahora sabemos que todo conjunto de enteros positivos tiene el menor miembro.
Por tanto, el conjunto de todos aquellos enteros positivos m tales que a m = e tiene los miembros menores, digamos n. Por tanto, existe el menor entero positivo n tal que
an = e.
Por lo tanto, el orden de a, o(a) es finito.
Ahora para probar que o(a) ≤ o(G).
Suponer,
o(a) = n, where n > o(G).
Como a ∈ G, por la propiedad de cierre a, a 2 , …. a n son elementos de G. No hay dos iguales. Porque si es posible, sea a r = a s , 1 ≤ s < r ≤ n. Después,
ar-s = e
Ya que
0 < r - s < n
Por lo tanto,
ar-s = e implies that the order of a is less than n.
Esto es una contradicción. Por tanto, a, a 2 ,… an son n elementos distintos de G. Dado que n > o(G), esto no es posible.
Por lo tanto, debemos tener o(a) ≤ o(G).
Por lo tanto, se prueba que El orden de todo elemento (a, o(a)) de un grupo finito (G) es finito y es menor o igual al orden del grupo (ie o(a) ≤ o(g ) ).
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Artículo escrito por ankitsinghrajput y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA