Matemáticas | Conjunto de potencia y sus propiedades

Prerrequisito: introducción a la teoría de conjuntos , operaciones con conjuntos (teoría de conjuntos) 
Para un conjunto S dado, el conjunto potencia P(S) o 2^S representa el conjunto que contiene todos los subconjuntos posibles de S como sus elementos. Por ejemplo, 
S = {1, 2, 3} 
P(S) = {ɸ, {1}, {2}, {3} {1,2}, {1,3}, {2,3}, { 1,2,3}} 

Número de elementos en el conjunto de potencia: 
para un conjunto S dado con n elementos, el número de elementos en P (S) es 2 ^ n. Como cada elemento tiene dos posibilidades (presente o ausente), los subconjuntos posibles son 2×2×2.. n veces = 2^n. Por lo tanto, el conjunto potencia contiene 2^n elementos. 

Nota – 

• El conjunto potencia de un conjunto finito es finito.
• El conjunto S es un elemento del conjunto potencia de S que se puede escribir como S ɛ P(S).
• El conjunto vacío ɸ es un elemento del conjunto potencia de S que se puede escribir como ɸ ɛ P(S).
• El conjunto vacío ɸ es un subconjunto del conjunto potencia de S que se puede escribir como ɸ ⊂ P(S).

Discutamos las preguntas basadas en el conjunto de potencia. 

Q1. La cardinalidad del conjunto potencia de {0, 1, 2 . . ., 10} es _________. 
(A) 1024 
(B) 1023 
(C) 2048 
(D) 2043 

Solución: La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que contiene. Para un conjunto S con n elementos, su conjunto potencia contiene 2^n elementos. Para n = 11, el tamaño del conjunto de potencia es 2^11 = 2048. 

Q2 . Para un conjunto A, el conjunto potencia de A se denota por 2^A. Si A = {5, {6}, {7}}, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera? 

I.Φ ϵ 2 A         II.  Φ⊆ 2 A       III. {5,{6}} ϵ 2 A       IV. {5,{6}} ⊆ 2 A 

(A) Solo I y III 
(B) Solo II y III 
(C) Solo I, II y III 
(D) Solo I, II y IV 

Explicación: El conjunto A tiene 5, {6}, {7} tiene sus elementos. Por lo tanto, el conjunto potencia de A es: 

2^S = {ɸ, {5}, {{6}}, {{7}}, {5,{6}}, {5,{7}}, {{6},{7}}, { 5,{6},{7}} } 

La afirmación I es verdadera como podemos ver ɸ es un elemento de 2^S. 
El enunciado II es verdadero ya que el conjunto vacío ɸ es un subconjunto de todos los conjuntos. 
El enunciado III es verdadero ya que {5,{6}} es un elemento de 2^S. 
Sin embargo, la afirmación IV no es cierta ya que {5,{6}} es un elemento de 2^S y no un subconjunto. 
Por lo tanto, la opción correcta es (C). 

Q3. Sea P(S) el conjunto potencia del conjunto S. ¿Cuál de las siguientes es siempre verdadera? 
 

(a) P(P(S))=P(S)          (b) P(S) ∩ P(P(S)) = { Φ }
(c) P(S) ∩ S = P(S)       (d) S ∉ P(S)

(A) un 
(B) b 
(C) c 
(D) d 

Solución: Supongamos el conjunto S ={1, 2}. Por lo tanto P(S) = { ɸ, {1}, {2}, {1,2}} 
La opción (a) es falsa ya que P(S) tiene 2^2 = 4 elementos y P(P(S)) tiene 2^4 = 16 elementos y no son equivalentes. 
La opción (b) es verdadera ya que la intersección de P(P(S)) y P(S) es un conjunto vacío. 
La opción (c) es falsa ya que la intersección de S y P(S) es un conjunto vacío. 
La opción (d) es falsa ya que S es un elemento de P(S). 

Conjunto contable y su conjunto potencia: 
un conjunto se llama contable cuando su elemento se puede contar. Un conjunto contable puede ser finito o infinito. 
Por ejemplo, el conjunto S1 = {a, e, i, o, u} que representa a las vocales es un conjunto numerable finito. Sin embargo, S2 = {1, 2, 3……} que representa un conjunto de números naturales es un conjunto numerable infinito. 

Nota – 

• El conjunto de potencias de un conjunto numerable finito es finito y, por lo tanto, contable. 
  Por ejemplo, el conjunto S1 que representa las vocales tiene 5 elementos y su conjunto potencia contiene 2^5 = 32 elementos. Por lo tanto, es finito y, por lo tanto, contable.
• El conjunto potencia de un conjunto contablemente infinito es incontable. 
  Por ejemplo, el conjunto S2 que representa un conjunto de números naturales es contablemente infinito. Sin embargo, su conjunto de poderes es incontable.

Conjunto incontable y su conjunto potencia: 
un conjunto se llama incontable cuando su elemento no se puede contar. Un conjunto incontable puede ser siempre infinito. 
Por ejemplo, el conjunto S3 que contiene todos los números reales entre 1 y 10 no es contable. 

Nota – 

• El conjunto potencia de un conjunto incontable siempre es incontable. 
  Por ejemplo, el conjunto S3 que representa todos los números reales entre 1 y 10 no es contable. Por lo tanto, el conjunto potencia del conjunto incontable también es incontable. 
   

Discutamos las preguntas de la puerta sobre esto. 

Q4. Sea ∑ un alfabeto no vacío finito y sea 2^∑* el conjunto potencia de ∑*. ¿Cual de los siguientes es verdadero? 
 

(A). Both 2^∑*  and ∑* are countable  
(B). 2^∑*  is countable and ∑* is uncountable
(C). 2^∑*  is uncountable and ∑* is countable  
(D). Both 2^∑* and ∑* are uncountable

Solución: Sea ∑ = {a, b} 
luego ∑* = { ε, a, b, aa, ba, bb, ……………….}. 
Como podemos ver, ∑* es contablemente infinito y, por lo tanto, contable. Pero el conjunto de potencia del conjunto numerable infinito es incontable. 
Por lo tanto, 2^∑* es incontable. Entonces, la opción correcta es (C).