Análisis de datos GRE | Métodos de conteo

Contar es el proceso de determinar el número de elementos de un conjunto finito de objetos. Si el conjunto contiene una pequeña cantidad de objetos/elementos, entonces es fácil enumerarlos y contarlos. Cuando el conjunto es demasiado grande para contar de esa manera, y cuando los objetos están relacionados en forma sistemática o con patrones, existen algunas técnicas útiles para contar los objetos sin realmente enumerarlos.

1. Conjuntos :

Un conjunto se define como una colección desordenada bien definida de elementos u objetos distintos. Es una colección de elementos que tienen alguna propiedad. Ejemplo: 

A = { 0, 2, 4, 6, 8 }
B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6...... }C = set of all students in a class 

Para cualquier conjunto finito S, el número de elementos del conjunto S está representado por |S| Así, en el ejemplo anterior |A| = 5 y también  = 0, donde  es un conjunto vacío. Establecer operaciones

2. Listas:

Una lista es una estructura de datos que consta de un conjunto ordenado de elementos. Es como un conjunto finito. 

Diferencia entre listas y conjuntos:

1. Los elementos se pueden repetir en una lista pero en conjunto los elementos son distintos.
2. Reorganizar los miembros de la lista la convierte en una lista diferente, por lo tanto, los miembros de la lista están ordenados.

Así, la lista  1, 2, 3, 4  y la lista  4, 2, 3, 1  son diferentes. Principio de inclusión-exclusión : establece que el número de elementos en la unión de dos conjuntos es igual a la suma de sus números individuales de elementos menos el número de elementos en su intersección. Digamos que tenemos conjuntos finitos A y B entonces

  =    +    + 

Si A y B son mutuamente excluyentes entonces, A  B =  . Después,

  =    +  

3. Principio de multiplicación:

El principio de multiplicación establece que si un evento puede ocurrir de m formas y un segundo puede ocurrir independientemente del primero de n formas, entonces los dos eventos pueden ocurrir de m*n formas. 

Ejemplo: la contraseña de una computadora consta de cuatro caracteres, de modo que el primer carácter es uno de los 10 dígitos del 0 al 9 y cada uno de los siguientes 3 caracteres es cualquiera de las letras mayúsculas de las 26 letras del alfabeto inglés. ¿Cuántas contraseñas diferentes son posibles? Explicación: el primer carácter puede tomar uno de los 10 valores y los siguientes caracteres pueden tomar uno de los 26 valores, tenemos 10 opciones para el primer carácter 26 para el segundo, tercer y cuarto carácter el número total de contraseñas posibles es,

10*26*26*26 =  175,760 

Digamos que no se permiten repeticiones de letras, entonces las opciones no son todas independientes pero podemos aplicar una modificación del principio de multiplicación, aquí tenemos 10 opciones para el primer carácter, 26 opciones para el segundo carácter, 25 opciones para el tercer carácter, 24 opciones para cuarto personaje. El número total de contraseñas posibles son,

10*26*25*24 = 156, 000 

4. Factoriales:

Se utiliza para contar, denotado como  . es el producto de los primeros n números naturales.

 = 1*2*3*4......(n-1)*n

= [Tex]4!  [/Tex]= 1*2*3*4 = 24 = 1 = 1; 

Ejemplo: Determine el número de formas diferentes en que se pueden colocar las 3 letras A, B y C del 1 al 3. 

Explicación: Las letras A, B y C se pueden organizar de  = 6 maneras

ABC  ACB  BAC  BCA  CAB  CBA

También se puede entender que en primer lugar podemos poner 3 letras en segundo lugar, solo quedan 2 opciones en tercer lugar, solo queda una opción, entonces, 3 * 2 * 1 = 6.

5. Permutación y Combinación :

Permutación: La permutación se refiere a la disposición. La permutación de n objeto tomando r a la vez se da como

  =  n*(n-1)*(n-2)*(n-3)...(n-r+1)  =  

Ejemplo: ¿Cuántos enteros positivos diferentes de 5 dígitos se pueden formar usando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 si ninguno de los dígitos puede aparecer más de una vez en el entero? 

Explicación: El número total de enteros positivos de 5 dígitos que se pueden formar usando los 7 dígitos es:  =  = 7*6*5*4*3 También se puede entender que para el primer lugar tenemos 7 opciones para el segundo lugar tenemos 6 y pronto. Es decir, el total de enteros positivos de 5 dígitos es 7*6*5*4*3. Combinación: Una combinación es una selección de artículos de una colección, tal que el orden de selección no importa. La combinación de n objetos tomados r a la vez está dada por 

  =  

Ejemplo: Dadas 5 letras A, B, C, D y E determine el número de formas en que podemos seleccionar 3 de las 5 letras. 

Explicación: el número de formas de seleccionar 3 letras de las 5 es  ,  = 5*2 = 10 formas

  ABC  ABD  ABE  ACD  ACE  ADE  BCD  BCE  BDE  CDE

Si contamos los diferentes pedidos o la cantidad de arreglos, entonces, la cantidad de formas de seleccionar con orden = (la cantidad de formas de seleccionar sin orden) x (la cantidad de formas de ordenarlas), por lo tanto, para el ejemplo anterior hay  = 60 formas. Problemas de permutación y combinación.