Subgrupo y Orden de grupo | Matemáticas

Prerrequisito: Grupos

Subgrupo –

Un subconjunto no vacío H del grupo G es un subgrupo de G si H es un grupo bajo la operación binaria (*) de G. Usamos la notación H ≤ G para indicar que H es un subgrupo de G. Además, si H es un subgrupo propio entonces se denota por H < G .

Para un subconjunto H del grupo G, H es un subgrupo de G si,
• H ≠ φ
• si a, k ∈ H luego ak ∈ H
• si un &en; H entonces a ^-1 ∈ H

Ex. – Números enteros (Z) es un subgrupo de racionales (Q) bajo suma, (Z, +) < (Q, +)

Nota:
1. G es un subgrupo de sí mismo y {e} también es un subgrupo de G, estos se llaman subgrupos triviales.
2. Subgrupo tendrá todas las propiedades de un grupo.
3. Un subgrupo H del grupo G es un subgrupo normal si g ^-1 H g = H para todo g ∈ GRAMO.
4. Si H < K y K < G, entonces H < G (transitividad del subgrupo).
5. si H y K son subgrupos de un grupo G entonces H ∩ K también es un subgrupo.
6. si H y K son subgrupos de un grupo G entonces H ∪ K puede o no ser un subgrupo.

Coset –

Sea H un subgrupo de un grupo G. Si g ∈ G, la clase lateral derecha de H generada por g es, Hg = { hg, h ∈ H };
y de manera similar, la clase lateral izquierda de H generada por g es gH = { gh, h ∈ H }

Ejemplo: Considere Z ₄ bajo la suma (Z ₄ , +), y sea H={0, 2}. e = 0, e es elemento de identidad. ¿Encuentre las clases laterales izquierdas de H en G?
Solución:

 The left cosets of H in G are,
 eH = e*H = { e * h | h ∈ H} = { 0+h| h ∈ H} = {0, 2}.
 1H= 1*H = {1 * h | h ∈ H} = { 1+h| h ∈ H} = {1, 3}.
 2H= 2*H = {2 * h | h ∈ H} = { 2+h| h ∈ H} = {0, 2}.
 3H= 3*H = {3 * h  |h ∈ H} = { 3+h| h ∈ H} = {1, 3}.
 Hence there are two cosets, namely 0*H= 2*H = {0, 2} and  1*H= 3*H = {1, 3}. 

Orden de Grupo –

El Orden de un grupo (G) es el número de elementos presentes en ese grupo, es decir, su cardinalidad. Se denota por |G|.
Orden del elemento a ∈ G es el entero positivo más pequeño n, tal que a ⁿ = e, donde e denota el elemento de identidad del grupo, y a ⁿ denota el producto de n copias de a. Si tal n no existe, se dice que a tiene un orden infinito. Todos los elementos de grupos finitos tienen orden finito.

Teorema de Lagrange:

Si H es un subgrupo del grupo finito G, entonces el orden del subgrupo H divide el orden del grupo G.

Propiedades del orden de un elemento del grupo:
• El orden de cada elemento de un grupo finito es finito.
• El Orden de un elemento de un grupo es el mismo que el de su inverso a ^-1 .
• Si a es un elemento de orden n y p es primo de n, entonces a ^p también es de orden n.
• El orden de cualquier potencia integral de un elemento b no puede exceder el orden de b.
• Si el elemento a de un grupo G es de orden n, entonces a ^k =e si y sólo si n es divisor de k.
• El orden de los elementos a y x ^-1 ax es el mismo donde a, x son dos elementos cualesquiera de un grupo.
• Si a y b son elementos de un grupo, entonces el orden de ab es el mismo que el de ba .

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