PUERTA | PUERTA CS 2008 | Pregunta 28

How many of the following matrices have an eigenvalue 1?

(A) uno
(B) dos
(C) tres
(D) cuatro

Respuesta: (A)
Explicación: Los valores propios de $\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &0 \end{pmatrix}$ están dados por $\begin{pmatrix}1-\lambda &0 \\ 0 &0-\lambda \end{pmatrix}= 0 \Rightarrow -\lambda(1 - \lambda) = 0 \Rightarrow \lambda=1$ o $\lambda=0$

$\newline$

Los valores propios de $\begin{pmatrix}0 &1 \\ 0 &0 \end{pmatrix}$ están dados por $\begin{pmatrix}0-\lambda &1 \\ 0 &0-\lambda \end{pmatrix}= 0 \Rightarrow \lambda^2 = 0 \Rightarrow \lambda=0$ o $\lambda=0$

Los valores propios de $\begin{pmatrix}1 &-1 \\ 1 &1 \end{pmatrix}$ están dados por

$\begin{pmatrix}1-\lambda &-1 \\ 1 &1-\lambda \end{pmatrix}= 0 \Rightarrow \lambda^2 - 2\lambda + 2 = 0 \Rightarrow \lambda= \frac{2\pm \sqrt{4-8}}{2}$
EigenValues of $\begin{pmatrix}-1 &0 \\ 1 &-1 \end{pmatrix}$ is given by $\begin{pmatrix}-1-\lambda &0 \\ 1 &-1-\lambda \end{pmatrix}= (\lambda+1)^2 = 0 \Rightarrow \lambda=-1$