Rompecabezas | ¿Puede un Caballero llegar abajo desde arriba visitando todas las casillas?

Rompecabezas
¿Hay alguna manera de que un caballo de ajedrez comience en la esquina superior izquierda de un tablero de ajedrez N x N , visite todas las casillas del tablero exactamente una vez y termine en la esquina inferior derecha?

Solución

Necesitamos atravesar todos los cuadrados del tablero de ajedrez exactamente una vez. Además, los movimientos del caballo tienen forma de L, es decir, atraviesan dos cuadrados vertical u horizontalmente. Una simple observación a tomar de esto es que en un movimiento, el caballo comienza y termina en dos cuadrados de diferentes colores.

Considere dos casos:

1. Caso N es par : Sea el valor de N 8. Por lo tanto, el número total de casillas en el tablero será 64. Ahora, para visitar todas las casillas del tablero exactamente una vez, el caballo tendría que hacer 63 movimientos. Dado que el número total de movimientos es impar , el viaje comenzará y terminará en las casillas del color opuesto . Dado que los cuadrados en la esquina superior izquierda y la esquina inferior derecha tienen el mismo color, por lo tanto, el viaje es imposible.
   
2. El caso N es impar : Sea el valor de N 9. Por lo tanto, el número total de casillas en el tablero será 81. Ahora, para visitar todas las casillas del tablero exactamente una vez, el caballo tendría que hacer 80 movimientos. Dado que el número total de movimientos es par , el viaje comenzará y terminará en los cuadrados del mismo color . Dado que los cuadrados en la esquina superior izquierda y la esquina inferior derecha son del mismo color, por lo tanto, es posible el viaje en un tablero de 9 x 9. Pero para N = 3, esta no es una solución ya que el caballo no puede alcanzar la posición (2,2) (que es el medio del tablero de ajedrez).
   

Por lo tanto, en un tablero de ajedrez N x N , un caballo tendrá que hacer (N ² – 1) movimientos para visitar cada casilla exactamente una vez. Entonces, si N es par , el viaje es imposible y para valores impares de N, el viaje es posible .