Geometría GRE | triangulos

El triángulo es una de las formas bidimensionales básicas en geometría. Consta de tres ángulos, tres lados y tres vértices, por ejemplo, 

Sobre la base de la medida de los lados y los ángulos, existen diferentes tipos de triángulos que se enumeran a continuación: 

1. Triángulo equilátero: 
todos los bordes son iguales, todos los ángulos también son iguales a 60 °, por ejemplo, 
 

2. Triángulo isósceles: 
dos aristas son iguales, por lo tanto, dos ángulos también son iguales o los lados opuestos a lados iguales son iguales, por ejemplo, 

3. Triángulo escaleno: 
todos los bordes son diferentes, por lo tanto, todos los ángulos también son diferentes, por ejemplo, 

4. Triángulo de ángulo recto: 
un ángulo mide 90° y el lado opuesto a 90° es la hipotenusa, por ejemplo, 

5. Triángulo obtuso: 
un ángulo es obtuso, por ejemplo, 

6. Triángulo agudo: 
Todos los ángulos son agudos, por ejemplo, 

Propiedades importantes del triángulo: 

• La suma de los angulos de un triangulo es 180°
• El tercer lado del triángulo es mayor que la diferencia de los otros dos lados y menor que la suma de los otros dos lados.
• Área del triángulo = (1/2) * base * altura.
• En un triángulo rectángulo, hipotenusa ² = base ² + perpendicular ² . [ Teorema de Pitágoras ]
• Área del triángulo equilátero = (√3 / 4)lado ²

Congruencia y semejanza en triángulos: 

1. Triángulo congruente: 
dos triángulos son congruentes si la forma y el tamaño de dos triángulos son iguales o si dos triángulos tienen los mismos ángulos y los mismos lados, por ejemplo, 

El triángulo ABC y XYZ son congruentes. 
o △ABC ≅△XYZ 

Reglas de congruencia: 

• (i) Regla SSS (lado – lado – lado): 
  si todos los lados de un triángulo son iguales a todos los lados de otro triángulo. Entonces estos dos triángulos son congruentes entre sí por la regla SSS, por ejemplo,

• (ii) Regla SAS (lado – ángulo – lado): 
  si dos lados de un triángulo son iguales a dos lados de otro triángulo y el ángulo entre ellos es igual al ángulo entre lados iguales en otro triángulo, entonces estos dos triángulos son congruentes entre sí. por la regla SAS, por ejemplo, 
   

• (iii) Regla AAA (ángulo – ángulo – ángulo): si todos los ángulos de un triángulo son iguales a todos los ángulos de otro triángulo, entonces estos dos triángulos son congruentes entre sí según la regla AAA, por ejemplo, 
   

• (iv) Regla ASA (ángulo – lado – ángulo): 
  si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos en otro triángulo y el lado entre ellos es igual al lado entre ángulos iguales en otro triángulo, entonces estos dos triángulos son congruentes entre sí por la regla ASA, por ejemplo, 
   

• (v) Regla AAS (ángulo – ángulo – lado): 
  si dos ángulos y un lado de un triángulo son iguales a dos ángulos y un lado en otro triángulo, entonces estos triángulos son congruentes entre sí según la regla AAS, por ejemplo, 
   

2. Triángulos semejantes: 
Dos triángulos son semejantes si su forma es la misma pero no es necesario que su tamaño sea también el mismo. Para probar que dos triángulos son similares se usa el factor de escala de similitud , este factor verifica la equivalencia de la razón de los lados correspondientes y los ángulos correspondientes, por ejemplo, 
 

△ABC is similar to △XYZ. 

Dado que △ABC es similar a △XYZ, podemos escribir el factor de escala de similitud como: 

XY / AB = XZ / AC = YZ / BC. 

Para obtener AB/AC simplemente multiplique en cruz, 

XY / AB = XZ / AC.
AB / AC = XY / XZ.