Método secante de análisis numérico

El método de la secante también es un método recursivo para encontrar la raíz de los polinomios por aproximación sucesiva. Es similar al método Regular-falsi pero aquí no necesitamos verificar f(x ₁ )f(x ₂ )<0 una y otra vez después de cada aproximación. En este método, las raíces de las vecindades se aproximan por línea secante o cuerda a la función f(x) . También es ventajoso de este método que no necesitamos diferenciar la función dada f(x) , como lo hacemos en el método de Newton-raphson . 

Figura – Método de la secante 

Ahora, derivaremos la fórmula para el método de la secante. La ecuación de la recta secante que pasa por dos puntos es: 

Aquí, m=pendiente 

Entonces, aplica para (x ₁ , f(x ₁ )) y (x ₀ , f(x ₀ ))  

 Y - f(x1) = [f(x0)-f(x1)/(x0-x1)] (x-x1)   Equation (1)

Como estamos encontrando la raíz de la función f(x), entonces, Y=f(x)=0 en la Ecuación (1) y el punto donde la línea secante corta el eje x es,  

x= x1 - [(x0 - x1)/ (f(x0) - f(x1)]f(x1) .

Usamos el resultado anterior para aproximaciones sucesivas de la raíz de la función f(x). Digamos que la primera aproximación es x=x ₂ : 

x2= x1 - [(x0 - x1)/ (f(x0)-f(x1))]f(x1)

De manera similar, la segunda aproximación sería x =x ₃ :  

x3= x2 - [(x1-x2)/ (f(x1)-f(x2))]f(x2)

Y así sucesivamente, hasta la k ^-ésima iteración , 

xk+1= xk - [(xk-1 - xk) / (f(xk-1) - f(xk))]f(xk)

Nota: Para iniciar la solución de la función f(x) se requieren dos intentos iniciales tales que f(x ₀ )<0 y f(x ₁ )>0. Por lo general, no se ha pedido encontrar la raíz del polinomio f(x) en la que f(x) =0. En su mayoría, el problema solo le pedirá que encuentre la raíz de f (x) hasta dos lugares decimales o tres lugares decimales o cuatro, etc. 

Ventajas del método de la secante:

• La velocidad de convergencia del método de la secante es más rápida que la de la bisección y el método de Regula falsi.
• Utiliza las dos aproximaciones más recientes de la raíz para encontrar nuevas aproximaciones, en lugar de usar solo aquellas aproximaciones que limitan el intervalo para encerrar la raíz.

Desventajas del método de la secante:

• La Convergencia en el método de la secante no siempre está asegurada.
• Si en alguna etapa de la iteración este método falla.
• Dado que la convergencia no está garantizada, debemos poner un límite al número máximo de iteraciones al implementar este método en la computadora.

Ejemplo-1: 
Calcule la raíz de la ecuación x ² e ^–x/2 = 1 en el intervalo [0, 2] usando el método de la secante. La raíz debe ser correcta con tres decimales. 

Solución – 
x ₀ = 1,42, x ₁ = 1,43, f(x ₀ ) = – 0,0086, f(x ₁ ) = 0,00034. 

Aplique el método de la secante. La primera aproximación es, 
x ₂ = x ₁ – [( x ₀ – x ₁ ) / (f(x ₀ ) – f(x ₁ )]f(x ₁ ) 
= 1.43 – [( 1.42 – 1,43) / (0,00034 – (– 0,0086))](0,00034) 
= 1,4296 
f(x ₂ ) = – 0,000011 (–ve) 

La segunda aproximación es, 
x ₃ = x ₂ – [( x ₁ – x ₂ ) / (f(x ₁ ) – f(x ₂ ))]f(x ₂ ) 
= 1.4296 – [( 1.42 – 1.4296) / ( 0.00034 – (– 0.000011](– 0.000011) 
= 1.4292 
Dado que x ₂ y x ₃ coinciden hasta con tres decimales, la raíz requerida es 1.429 . 

Ejemplo-2: 
Una raíz real de la ecuación f(x) = x ³ – 5x + 1 = 0 se encuentra en el intervalo (0, 1). Realice cuatro iteraciones del método de la secante. 

Solución – 
Tenemos, x ₀ = 0, x ₁ = 1, f(x ₀ ) = 1, f(x ₁ ) = – 3 
x ₂ = x ₁ – [( x ₀ – x ₁ ) / (f(x ₀ ) – f(x ₁ ))]f(x ₁ ) 
= 1 – [ (0 – 1) / ((1-(-3))](-3) 
= 0,25.

 
f(x2 ) ₌ – 0.234375 

La segunda aproximación es, 
x ₃ = x ₂ – [( x ₁ – x ₂ ) / (f(x ₁ ) – f(x ₂ ))]f(x ₂ ) 
=(– 0.234375) – [(1 – 0.25 )/(–3 – (– 0,234375))](– 0,234375) 
= 0,186441 
 

f( _x3 )

La tercera aproximación es, 
x4 = x3 – [( x2 – x3) / (f(x2) – f(x3))]f(x3) 
= 0.186441 – [( 0.25 – 0.186441) / ( – 0.234375) – (0.074276) ](– 0,234375) 
= 0,201736.

 
f(x4) = – 0.000470 
La cuarta aproximación es, 
x5 = x4 – [( x3 – x4) / (f(x3) – f(x4))]f(x4) 
= 0.201736 – [( 0.186441 – 0.201736) / ( 0,074276 – (– 0,000470)](– 0,000470) 
= 0,201640