Programa Java para la subsecuencia creciente más larga

El problema de la subsecuencia creciente más larga (LIS) es encontrar la longitud de la subsecuencia más larga de una secuencia dada de modo que todos los elementos de la subsecuencia se clasifiquen en orden creciente. Por ejemplo, la longitud de LIS para {10, 22, 9, 33, 21, 50, 41, 60, 80} es 6 y LIS es {10, 22, 33, 50, 60, 80}. Más ejemplos:

Input  : arr[] = {3, 10, 2, 1, 20}
Output : Length of LIS = 3
The longest increasing subsequence is 3, 10, 20

Input  : arr[] = {3, 2}
Output : Length of LIS = 1
The longest increasing subsequences are {3} and {2}

Input : arr[] = {50, 3, 10, 7, 40, 80}
Output : Length of LIS = 4
The longest increasing subsequence is {3, 7, 40, 80}

Subestructura óptima: Sea arr[0..n-1] la array de entrada y L(i) la longitud del LIS que termina en el índice i, de modo que arr[i] es el último elemento del LIS. Entonces, L(i) puede escribirse recursivamente como: L(i) = 1 + max( L(j) ) donde 0 < j < i y arr[j] < arr[i]; o L(i) = 1, si tal j no existe. Para encontrar el LIS para una array dada, necesitamos devolver max(L(i)) donde 0 < i < n. Por lo tanto, vemos que el problema LIS satisface la propiedad de subestructura óptima ya que el problema principal se puede resolver utilizando soluciones a los subproblemas. A continuación se muestra una implementación recursiva simple del problema LIS. Sigue la estructura recursiva discutida anteriormente. 

/* A Naive Java Program for LIS Implementation */
class LIS {
    static int max_ref; // stores the LIS
 
    /* To make use of recursive calls, this function must return
   two things:
   1) Length of LIS ending with element arr[n-1]. We use
      max_ending_here for this purpose
   2) Overall maximum as the LIS may end with an element
      before arr[n-1] max_ref is used this purpose.
   The value of LIS of full array of size n is stored in
   *max_ref which is our final result */
    static int _lis(int arr[], int n)
    {
        // base case
        if (n == 1)
            return 1;
 
        // 'max_ending_here' is length of LIS ending with arr[n-1]
        int res, max_ending_here = 1;
 
        /* Recursively get all LIS ending with arr[0], arr[1] ...
           arr[n-2]. If   arr[i-1] is smaller than arr[n-1], and
           max ending with arr[n-1] needs to be updated, then
           update it */
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            res = _lis(arr, i);
            if (arr[i - 1] < arr[n - 1] && res + 1 > max_ending_here)
                max_ending_here = res + 1;
        }
 
        // Compare max_ending_here with the overall max. And
        // update the overall max if needed
        if (max_ref < max_ending_here)
            max_ref = max_ending_here;
 
        // Return length of LIS ending with arr[n-1]
        return max_ending_here;
    }
 
    // The wrapper function for _lis()
    static int lis(int arr[], int n)
    {
        // The max variable holds the result
        max_ref = 1;
 
        // The function _lis() stores its result in max
        _lis(arr, n);
 
        // returns max
        return max_ref;
    }
 
    // driver program to test above functions
    public static void main(String args[])
    {
        int arr[] = { 10, 22, 9, 33, 21, 50, 41, 60 };
        int n = arr.length;
        System.out.println("Length of lis is "
                           + lis(arr, n) + "\n");
    }
}
/*This code is contributed by Rajat Mishra*/

Length of lis is 5

Complejidad de tiempo : O(2 ⁿ )

Espacio Auxiliar : O(1)

Subproblemas superpuestos: teniendo en cuenta la implementación anterior, el siguiente es un árbol de recurrencia para una array de tamaño 4. lis(n) nos da la longitud de LIS para arr[].

              lis(4)
        /        |     
      lis(3)    lis(2)   lis(1)
     /           /
   lis(2) lis(1) lis(1)
   /
lis(1)

Podemos ver que hay muchos subproblemas que se resuelven una y otra vez. Por lo tanto, este problema tiene la propiedad de subestructura superpuesta y el recálculo de los mismos subproblemas se puede evitar mediante Memoización o Tabulación. A continuación se muestra una implementación tabulada para el problema LIS. 

/* Dynamic Programming Java implementation of LIS problem */
 
class LIS {
    /* lis() returns the length of the longest increasing
       subsequence in arr[] of size n */
    static int lis(int arr[], int n)
    {
        int lis[] = new int[n];
        int i, j, max = 0;
 
        /* Initialize LIS values for all indexes */
        for (i = 0; i < n; i++)
            lis[i] = 1;
 
        /* Compute optimized LIS values in bottom up manner */
        for (i = 1; i < n; i++)
            for (j = 0; j < i; j++)
                if (arr[i] > arr[j] && lis[i] < lis[j] + 1)
                    lis[i] = lis[j] + 1;
 
        /* Pick maximum of all LIS values */
        for (i = 0; i < n; i++)
            if (max < lis[i])
                max = lis[i];
 
        return max;
    }
 
    public static void main(String args[])
    {
        int arr[] = { 10, 22, 9, 33, 21, 50, 41, 60 };
        int n = arr.length;
        System.out.println("Length of lis is " + lis(arr, n) + "\n");
    }
}
/*This code is contributed by Rajat Mishra*/

Length of lis is 5

Tiempo Complejidad : O(n ² )

Espacio Auxiliar : O(n)

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