Resolviendo Problemas de Estructuras Algebraicas por Tabla de Composición

Problema-1:
Conjunto G = { 1, ω, ω ² } es decir, tres raíces de la unidad y forman un grupo abeliano finito con respecto a la multiplicación, también pruebe esta afirmación mediante la tabla de composición.

Explicación: 
dado, Set= G={1, ω, ω ² } , operación= ‘*’,  es decir, multiplicación.

Para demostrar que tres raíces de la unidad forman un grupo abeliano finito, debemos satisfacer las siguientes cinco propiedades: propiedad de cierre, propiedad asociativa, propiedad de identidad, propiedad inversa y propiedad conmutativa.

Nota-: ω ³ =1

1) Propiedad de cierre –

∀ a , b ∈ G ⇒ a * b ∈ G
a=1 , b=ω ∈ G  
⇒  1 * ( ω ) = ω = ω ∈ G

Por lo tanto, se cumple la propiedad de cierre.

2) Propiedad Asociativa –

(a* b) * c = a*(b *c)          ∀ a , b , c ∈ G
Let a=1, b=ω and c=ω2
So, 
LHS  = ( a * b )*c
     = (1*  ω ) *ω2 = ω3=1
   
RHS  = a * ( b * c)
     = 1*( ω* ω2 ) = ω3= 1

Hence, RHS = LHS

La propiedad asociativa también se satisface

3) Propiedad de Identidad –

a *e = a      ∀  a ∈ G
e=identity=1 (in case of multiplication)
1 ∈  G
Let a=1
1*1= 1
1 ∈  G
Identity property is also satisfied.

4) Propiedad inversa –

Número	Inverso
1	1/1=1
ω	1/ω = ω 2 /ω .ω 2 = ω 2
ω 2	1/ω 2 = ω /ω 2 .ω =ω

Aquí podemos ver que el inverso de 1 es 1, el inverso de ω es ω2 y el inverso de ω2 es ω. Estos inversos pertenecen al conjunto G.

Entonces, la propiedad inversa también se cumple.

5) Propiedad Conmutativa –

a * b = b * a          ∀ a , b ∈ G
Let a=1, b=ω
LHS = a * b
     = 1*ω = ω
RHS = b * a
     = ω *1= ω
LSH=RHS

También se cumple la propiedad conmutativa.

Podemos ver que se satisfacen las cinco propiedades. Por lo tanto, Tres raíces de la unidad forman un grupo abeliano finito con la operación de multiplicación.

 

Tabla de composición de formación:

Paso 1: 
escriba todos los elementos del conjunto en fila y columna y la operación dada (*) en la esquina y multiplique los elementos de la columna con el elemento de fila uno por uno y escríbalo en la fila como se muestra en la figura a continuación.

Paso 2:
después de multiplicar cada elemento de la columna con los elementos de la fila, nuestra tabla de composición se verá como la figura que se muestra a continuación,

Paso 3:
Sabemos que, 

ω3=1 So, ω4=ω3.ω=1.ω=ω

por lo que nuestra tabla de composición se convierte en 

Paso 4:
Encontrar el inverso de los elementos.

Dibuje una línea horizontal y vertical desde los elementos de identidad en cada fila, la línea vertical proporciona el inverso de los elementos de la fila, podemos ver claramente que el inverso de 1 es 1, el inverso de ω es ω2 y el inverso de ω2 es ω.

Paso 5: 
Propiedades satisfactorias del grupo abeliano de la tabla de composición

1. Vemos en la tabla de composición que todos los números están en el conjunto G, por lo tanto, se cumple la propiedad de cierre.
2. Vemos que todos los números en la tabla de composición pertenecen al conjunto G, por lo tanto, se cumple la propiedad asociativa.
3. En la tabla de composición en cada fila hay un elemento de identidad 1, se cumple la propiedad de identidad.
4. Vemos que el inverso de 1 es 1, el inverso de ω es ω ² y el inverso de ω ² es ω. Todo pertenece al conjunto G, por lo que también se cumple la propiedad inversa.
5. Todos los números en la tabla de composición pertenecen al conjunto G, la propiedad conmutativa también se cumple.

Por lo tanto, G = { 1, ω, ω ² } es un grupo abeliano con respecto a la multiplicación.

Problema-2:
Establecer G = { 1, -1 , i , -i } es decir, cuatro raíces de la unidad y formar un grupo abeliano finito con respecto a la multiplicación.

Explicación: Las
cuatro raíces de la unidad son 1,-1, i, -i. Entonces nuestro conjunto será G={ 1 , -1 , i , -i }

Operación = ‘*’, es decir, multiplicación.

Para demostrar que cuatro raíces de la unidad forman un grupo abeliano finito, debemos satisfacer las siguientes cinco propiedades que son Propiedad de cierre, Propiedad asociativa, Propiedad de identidad, Propiedad inversa y Propiedad conmutativa.

1) Propiedad de cierre –

∀ a , b ∈ G ⇒ a * b ∈ G
a=i , b= -i ∈ G  
⇒  i * ( -i ) = -i2 = - ( -1 )
   =1 ∈ G

Por lo tanto, se cumple la propiedad de cierre.

2) Propiedad Asociativa –

( a* b ) * c = a*( b *c)    ∀ a , b , c ∈ G
Let a=1, b=-1 and c=i
So, LHS= ( a * b )*c
           = (1* ( -1 ) ) * i = -i
    RHS= a * ( b * c)
           =1*( -1* i ) = -i
Hence, RHS = LHS

La propiedad asociativa también se satisface

3) Propiedad de Identidad –

a *e = a      ∀  a ∈ G
e=identity=1 (in case of multiplication)
1 ∈  G
1*1= 1
1 ∈  G

La propiedad de identidad también se cumple.

4) Propiedad inversa –

a * ( 1/a ) = 1       ∀  a ∈ G ,  1/a ∈ G  

Número	Inverso
1	1/1=1
-1	1/-1 = -1
i	1/i = i/ii = i/i 2 = -i
-i	1/-i = i/-ii = i/-i 2 =i

Aquí podemos ver que el inverso de 1 es 1, el inverso de -1 es 1, el inverso de i es -i y el inverso de -i es i. Estos inversos pertenecen al conjunto G.

Entonces, la propiedad inversa también se cumple.

5) Propiedad Conmutativa –

a * b = b * a          ∀ a , b ∈ G
Let a=1, b=-1
LHS = a * b
      = 1*( -1 ) = -1
RHS = b * a
      = 1* ( -1 )= -1
LSH=RHS

También se cumple la propiedad conmutativa.

Podemos ver que se satisfacen las cinco propiedades. Por lo tanto, cuatro raíces de la unidad forman un grupo abeliano finito con la operación de multiplicación.