Tipos de conjuntos en la teoría de conjuntos

Conjunto : Conjunto es una colección de objetos o elementos bien definidos. 
Un conjunto se representa con una letra mayúscula. El número de elementos en el conjunto finito se conoce como el número cardinal de un conjunto.

Tomemos un ejemplo:

         A = {1, 2, 3, 4, 5}

Ya que un conjunto se suele representar con la letra mayúscula. Así, A es el conjunto y 1, 2, 3, 4, 5 son los elementos del conjunto o miembros del conjunto. Los elementos que están escritos en el conjunto pueden estar en cualquier orden pero no pueden repetirse. Todos los elementos del conjunto se representan en minúscula en caso de alfabetos. Además, podemos escribirlo como 1 ∈ A, 2 ∈ A, etc. El número cardinal o la cardinalidad del conjunto A es 5.

Tipos de Conjuntos –

(i) Conjunto Singleton : 
se dice que un conjunto que consta de un solo elemento es un conjunto Singleton.

Por ejemplo: Conjunto S = {5}, M = {a} se dice que son singleton ya que consisten en un solo elemento 5 y ‘a’ respectivamente.

(ii) Conjunto finito : 
un conjunto cuyo número de elementos es contable, es decir, finito o un conjunto cuya cardinalidad es un número natural (∈ N) se dice que es un conjunto finito .

Por ejemplo: conjuntos
A = {a, b, c, d}, B = {5,7,9,15,78} y C = {x: x es un múltiplo de 3, donde 0<x<100)

Aquí A, B y C los tres contienen un número finito de elementos, es decir, 4 en A, 5 en B y 33 en C y, por lo tanto, se denominarán conjuntos finitos.

(iii) Conjunto infinito : 
se dice que un conjunto que contiene un número infinito de elementos, es decir, cuya cardinalidad no se puede encontrar, es un conjunto infinito . 
Así, el conjunto de todos los números naturales.

norte = {1, 2, 3, 4 . . . .} es un conjunto infinito.

De manera similar, el conjunto de todos los números racionales entre dos números cualesquiera será infinito. Por ejemplo,

A = {x : x ∈ Q, 2 < x < 5} es un conjunto infinito. 

(iv) Conjuntos iguales : 
cuando dos conjuntos se componen de los mismos elementos, ya sea en el mismo orden, se dice que son iguales.
En otras palabras, si cada elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B y cada elemento de B es un elemento de A, los conjuntos A y B se llaman iguales, es decir, A = B. 

Por ejemplo, A = {1,2,3,4,5} y B = {1,5,2,4,3} , luego A = B.

(v) Conjunto vacío : 
si un conjunto no consta de ningún elemento (cero elementos), se dice que es el conjunto vacío. Se denota por ∅. También se le llama conjunto nulo o conjunto vacío. 
Una forma común de representar el conjunto nulo viene dada por 

∅ = { x : x ≠ x }, este conjunto es vacío, ya que no hay elemento que no sea igual a sí mismo. Por ejemplo, a = a, 2 = 2.

(vi) Subconjuntos de un conjunto dado : 
suponga que A es un conjunto dado. Cualquier conjunto B, cada uno de cuyos elementos es también un elemento de A, se dice que está contenido en A y se dice que es un subconjunto de A.
El símbolo ⊆ significa «está contenido en» o «es un subconjunto de». Así, si “B está contenido en A” o “B es un subconjunto de A”, escribimos 

              B ⊆ A.

Cuando B es un subconjunto de A, también decimos ‘A contiene B’ o ‘A es un superconjunto de B.

El símbolo ⊇ se lee para “contiene”, esto A ⊇ B significa “A contiene B”.

Ejemplo: si A = (3, 5, 7), B = (3, 5, 7, 9) entonces A ⊆ B ya que todo elemento de A es también un elemento de B. Pero B ⊄ A ya que 9 ∈ B mientras que 9 ∉ A.

(vii) Subconjunto propio : 
si B es un subconjunto de A y B ≠ A, entonces se dice que B es un subconjunto propio de A. En otras palabras, si cada elemento de B es un elemento de A y hay al menos un elemento de A que no es un elemento de B, entonces se dice que B es un subconjunto propio de A. “Es un subconjunto propio de” se representa simbólicamente por ⊂.

Además, el conjunto vacío ∅ es un subconjunto propio de todo conjunto excepto de sí mismo. 

Subconjunto impropio : 
el conjunto A se denomina subconjunto impropio de B si y solo si A = B. 

Nota: Todo conjunto es un subconjunto impropio de sí mismo. 

(viii) Conjunto potencia : 
se dice que el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto A dado es el conjunto potencia de A.

El conjunto potencia de A se denota por P(A). 

Si el conjunto A= {a, b, c} entonces sus subconjuntos son ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} {a, antes de Cristo}.

Por lo tanto, P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} {a, b, c} }.

(ix) Conjunto universal : 
se dice que un conjunto que consta de todos los elementos de los conjuntos considerados es el conjunto universal para esos conjuntos.
Generalmente se denota por U o S.

Por ejemplo: 
Considere los siguientes conjuntos, A = {a, b, c, d, e}; B = {x, y, z} y U = {a, b, c, d, e, f, g, h, w, x, y, z} Aquí, U es el conjunto universal para A y B, ya
que U contiene todos los elementos de A y B.