Dominio ideal principal (PID) | Matemáticas discretas

Prerrequisito:  Anillos en Matemáticas Discretas

Introducción:
Estructura algebraica: Un conjunto G no vacío equipado con 1 o más operaciones binarias se denomina estructura algebraica.
Ejemplo – 

• (N,+) donde N es un conjunto de números naturales y
• (R, *) R es un conjunto de números reales. 
  Aquí ‘ * ‘ especifica una operación de multiplicación.

ANILLO: 
Para formar un anillo se necesita una estructura algebraica que establezca el procesamiento de dos operaciones binarias simultáneamente. Un conjunto no vacío R junto con las operaciones de multiplicación y suma (por lo general) se llama anillo si:

1. (R,+) is an Abelian Group (satisfies G1, G2, G3, G4 & G5)
2. (R, *) is a Semi Group. (satisfies G1 & G2)
3. Multiplication is distributive over addition :
     (a) Left Distributive :  a*(b+c) = (a*b) + (a*c) ; ∀ a, b, c ∈ R
     (b) Right Distributive : (b+c)*a = (b*a) + (c*a) ; ∀ a, b, c ∈ R

1. GRUPO – 
   Una estructura algebraica (G , o) donde G es un conjunto no vacío & ‘o’ es una operación binaria definida en G se llama Grupo si la operación binaria “o” satisface las siguientes propiedades: G1
   . Cierre : a ∈ G ,b ∈ G => aob ∈ G ; ∀ a,b ∈ G
   G2. Asociatividad : (aob)oc = ao(boc) ; ∀ a,b,c ∈ G.
   G3. Elemento de Identidad: Existe e en G tal que aoe = eoa = a; ∀ a ∈ G (Ejemplo: para la suma, la identidad es 0)
   G4. Existencia de Inversa: Para cada elemento a ∈ G; existe una inversa(a-1)∈ G tal que : aoa-1 = a-1oa = e.
2. Grupo abeliano: 
   una estructura algebraica (G , o) donde G es un conjunto no vacío & ‘o’ es una operación binaria definida en G se denomina grupo abeliano si es un grupo (es decir, satisface G1, G2, G3 & G4) y adicionalmente cumple :
   G5 : Conmutativo: aob = boa ∀ a,b ∈ G
3. Semigrupo: 
   una estructura algebraica (G, o) donde G es un conjunto no vacío y ‘o’ es una operación binaria definida en G se denomina semigrupo si cumple solo 2 propiedades: G1 (cierre) y G2 ( asociatividad).
   Por lo general, escribimos la estructura del anillo como: (R, +, *) o simplemente R.
   Nota: la identidad aditiva 0 es única y se llama el elemento cero del anillo R.
4. Anillo conmutativo – 
   (R,+, *) es conmutativo: significa que la multiplicación (*) es conmutativa.

Dominio integral: 
Un anillo (R, +, *) se llama dominio integral de:

1. (R,+,*)  is commutative.
2. (R,+,*) is a ring with unit element.
3. It is a ring without zero divisors.

1. (R,+, *) es conmutativo – 
   significa que la multiplicación (*) es conmutativa.
2. (R,+,*) es un anillo con elemento unidad –
    Significa que existe un elemento unidad, digamos 1∈ R, tal que : 
     a*1 = 1*a = a ∀ a ∈ R
3. R es un anillo sin divisores de cero – 
   a*b = 0 =>a = 0 O b = 0 donde a, b ∈ R

Ideal Principal :
Sea (R,+, *) un anillo conmutativo con identidad 1. 
Sea a ∈R, entonces el conjunto = { ra : r ∈ R es un ideal } llamado Ideal Principal generado por a.

Dominio ideal principal (PID):
Un anillo (R,+, *) se llama dominio ideal principal si:

• R es un dominio integral.
• Todo ideal en R es principal.

Si todo ideal unilateral de un anillo es ideal, se denomina anillo ideal primario. El dominio ideal principal es un anillo principal sin divisores de cero.
Nota: dominios integralmente cerrados ⊂ dominios integrales ⊂ anillos conmutativos ⊂ anillos

P. Mostrando que cada campo es una Solución PID
. Sea F un campo. Por lo tanto, F también es un dominio integral. Además, F tendría algún elemento unidad: a*1 = 1*a = a ∀ a ∈ F. Entonces, F es un dominio integral con unidad.
Cada campo tiene sólo 2 ideales. Entonces F tiene 2 ideales: {0} & F donde –
(i) {0} = 0*F
(ii) F = 1*F
Entonces, F tiene solo 2 ideales y se pueden expresar de la forma: { f* a : f ∈ R es un ideal ya ∈ F }
Entonces, todo F es un PID
Nota : Lo contrario puede no ser cierto.

P. Muestre que Z, el anillo de números enteros, es una
respuesta PID. Sabemos que Z, el conjunto de los enteros, es un dominio integral. 
Sea J un ideal en Z. Mostramos que J es un ideal principal.
Caso 1. – Si J = {0}, entonces es el ideal principal y por lo tanto el resultado.
Caso 2. – Si J ≠ {0}, Sea 0 ≠ x ∈ J, entonces -x = (-1) x ∈ J para alguna x positiva.
Por lo tanto, J contiene al menos un entero positivo. Sea a el entero positivo más pequeño de J.
Decimos, J = { ra : r ∈Z }
Para x ∈ J , usando el algoritmo de división,
                           x = qa + r ; 0 ≤ r ≤ un ; q ∈ Z
Pero J es un ideal y a ∈ J, q ∈ Z
Por lo tanto, qa ∈ J y x – qa ∈ J ⇒ r ∈ J.
Pero, a es el entero positivo más pequeño en J que satisface 0 ≤ r ≤ a. Por lo tanto, debemos tener r = 0.
Entonces, x = qa, es decir, 
      J = { qa : q ∈ Z}
Por lo tanto, Z es un PID

P. Demuestre: un PID es un dominio de factorización único.
Prueba: La relación de inclusión inversa en el conjunto de ideales distintos de cero está bien fundamentada en la lógica clásica. 
Sea A el subconjunto de ideales (a) que son productos de un número finito (posiblemente cero) de ideales principales máximos. Si cada (t) que contiene correctamente (x) puede factorizarse en máximos para cada ideal válido (x)(0), entonces también puede hacerlo (x). (O (x) es máximo/irreducible, o se factoriza como (s)(t), donde tanto s como t no son unidades; por hipótesis, (s) y (t) se factorizan en máximos, también lo hace (x) ). Como resultado, debido a que A es un conjunto inductivo, contiene todos los ideales (x)(0), es decir, x puede factorizarse en irreducible.

Para la unicidad de la factorización, primero notamos que si p es irreducible y p|ab, entonces p|a o p|b. (Debido a que R/(p) es un campo y, por lo tanto, a fortiori un dominio integral, si ab≡0modp es verdadero, entonces a≡0modp o b≡0modp también lo son). p1 divide a uno de los irreducibles si q _i ,p ₁ p ₂ …p _m =q ₁ q ₂ …q _n son dos factorizaciones en irreducibles del mismo elemento, entonces , en cuyo caso (p ₁ )=(q _i ) y cada uno es una unidad por el otro, lo que significa que podemos cancelar p ₁ en ambos lados y argumentar por inducción.