Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.5 | Serie 1

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:

Pregunta 1. (dy/dx) = x ² + x – (1/x)

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = x ² + x – (1/x) 

dy = [x2 ⁺ x – (1/x)]dx 

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫(dy) = ∫[x ² + x – (1/x)]dx 

y = (x ³ /3) + (x ² /2) – log(x) + c -(Aquí, ‘c’ es una constante de integración)

Pregunta 2. (dy/dx) = x ⁵ + x ² – (2/x)

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = x ⁵ + x ² – (2/x)     

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫(dy) = ∫[x ⁵ + x ² – (2/x)]dx

y = (x ⁶ /6) + (x ³ /3) – 2log(x) + c -(Aquí, ‘c’ es una constante de integración)

Pregunta 3. (dy/dx) + 2x = e ^3x

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) + 2x = e ^3x 

(dy/dx) = -2x + e ^3x  

dy = [-2x + e ^3x ]dx

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = ∫[-2x + e ^3x ]dx

y = (-2x ² /2) + (e ^3x /3) + c

y = (-x ² ) + (e ^3x /3) + c -(Aquí, ‘c’ es una constante de integración)

Pregunta 4. (x ² + 1)(dy/dx) = 1

Solución:

Tenemos,

(x ² + 1)(dy/dx) = 1               

dy = (1/x ² + 1)dx

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = ∫(dx/x ² + 1)

y = tan ^-1 x + c -(Aquí, ‘c’ es una constante de integración)

Pregunta 5. (dy/dx) = (1 – cosx)/(1 + cosx)

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = (1 – cosx)/(1 + cosx)     

(dy/dx) = (2sen 2x / ² )/(2cos 2x / ² )

dy/dx = tan ² (x/2)

dy/dx = [seg ² (x/2) – 1]

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = ∫[seg ² (x/2) – 1]dx

y = [ tan(x/2)] – x + c

y = 2tan(x/2) – x + c -(Aquí, ‘c’ es una constante de integración)

Pregunta 6. (x + 2)(dy/dx) = x ² + 3x + 7

Solución:

Tenemos,

(x + 2)(dy/dx) = x ² + 3x + 7 

(dy/dx) = (x ² + 3x + 7)/(x + 2)

(dy/dx) = (x ² + 3x + 2 + 5)/(x + 2)

(dy/dx) = [(x + 1)(x + 2) + 5]/(x + 2)

(dy/dx) = (x + 1) + 5/(x + 2)

dy = (x + 1)dx + 5dx/(x + 2) 

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = ∫(x + 1)dx + 5∫dx/(x + 2)

y = x ² /2 + x + 5log(x + 2) + c -(Aquí, ‘c’ es una constante de integración)

Pregunta 7. (dy/dx) = tan ^-1 x

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = tan ^-1 x    

dy = tan ^-1 xdx

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = ∫tan ^-1 xdx

y = ∫1 × tan ^-1 xdx

y = tan ^-1 x∫1dx – ∫[ ∫1dx]dx

y = xtan ^-1 x – ∫\frac{x}{(1 + x2)}dx

y = x tan ^-1 x – 

y = xtan ^-1 x – (1/2)log(1 + x ² ) + c -(Aquí, ‘c’ es una constante de integración)

Pregunta 8. (dy/dx) = logx

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = logx  

dy = logxdx

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = logx∫1dx – ∫[ ∫1dx]dx

y = xlogx – ∫[x/x]dx

y = xlogx – ∫dx

y = xlogx – x + c

y = x(logx – 1) + c -(Aquí, ‘c’ es una constante de integración)

Pregunta 9. (1/x)(dy/dx) = tan ^-1 x

Solución:

Tenemos,

(1/x)(dy/dx) = bronceado ^-1 x 

dy = x tan ^-1 x dx

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = ∫xtan ^-1 x dx

y = tan ^-1 x∫xdx – ∫[ ∫xdx]dx

y = (x ² /2)tan ^-1 x – 

y = (x ² /2)tan ^-1 x – (1/2)∫1- \frac{1}{(1 + x^2)}dx

y = (x ² /2) bronceado ^-1 x – (x/2) + (1/2) bronceado ^-1 x + c

y = (1/2)(x ² + 1)tan ^-1 x – (x/2) + c -(Aquí, ‘c’ es una constante de integración)

Pregunta 10. (dy/dx) = cos ³ xsen ² x + x√(2x + 1)

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = cos ³ xsen ² x + x√(2x + 1) 

(dy/dx) = cosxcos ² xsen ² x + x√(2x + 1)

y = yo ₁ + yo ₂

yo ₁ = cosxcos ² xsen ² xdx

Al integrar ambos lados, obtenemos

= ∫(1 – sen ² x) sen ² x cos x dx

Sea, senx = z

Al diferenciar ambos lados 

cosxdx = dz

= ∫(1 – z ² )z ² dz

= z ³ /3 – z ⁵ /5 + c ₁

= sen ³ x/3 – sen ⁵ x/5 + c ₁

Yo ₂ = x√(2x + 1)dx

Sea, (2x + 1) = u ²

Al diferenciar ambos lados 

2dx = 2udu

dx = udu

= [(u ² – 1)/2]u × udu

I ₂ = (1/2)(u ⁴ -u ² )du

Al integrar ambos lados, obtenemos

= (1/2)[u ⁵ /5 – u ³ /3] + c ₂

= 1/10(2x + 1) ^5/2 – 1/6(2x + 1) ^3/2 + c ₂

y = yo ₁ + yo ₂

y = (sen ³ x/3) – (sen ⁵ x/5) + 1/10(2x + 1) ^5/2 – 1/6(2x + 1) ^3/2  + c

Pregunta 11. (senx + cosx)dy + (cosx – senx)dx = 0 

Solución:

Tenemos,

(senx + cosx)dy + (cosx – senx)dx = 0   

(dy/dx) = -[(cosx – senx)/(senx + cosx)]

Sea, (senx + cosx) = z

Al diferenciar ambos lados 

(senx + cosx)dx = dz

dy = (dz/z)

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = ∫(dz/z)

y = logz + c

y = log(senx + cosx) + c

Pregunta 12. (dy/dx) – xsen ² x = 1/(xlogx)

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) – xsen ² x = 1/(xlogx) 

dy = xsen ² xdx + 1/(xlogx)dx

Al integrar ambos lados, obtenemos

y = ∫xsen ² xdx + ∫dx/(xlogx)

y = yo ₁ + yo ₂

I ₁ = (1/2)(2sen 2x ⁾ xdx

= (1/2)[(1 – cos2x)xdx]

= (1/2)(xdx – xcos2x)dx

Al integrar ambos lados, obtenemos

= 1/2[∫xdx – ∫xcos2x dx]

= 1/2(x ² /2) – 1/2[x∫cos2x dx – ∫(1∫cos2x dx)]dx

= 1/2(x ² /2) – (x/4)sen2x + ∫(1/4sen2x)dx

= 1/2(x ² /2) – (x/4)sen2x + ((1/8)cos2x) + c ₁

yo2 = ₁ /(xlogx)dx

Sea, logx = z

Al diferenciar ambos lados, obtenemos

(dx/x) = dz

= (dz/z)

= logaritmo

= log(logx) + c ₂

y = yo ₁ + yo ₂

y = (x ² /4) – (xsen2x/4) + (cos2x/8) + log(logx) + c

Pregunta 13. (dy/dx) = x ⁵ tan ^-1 (x ³ )

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = x ⁵ tan ^-1 (x ³ )   

Sea, x ³ = z

Al diferenciar ambos lados, obtenemos

3x ² dx = dz

x ² dx = dz/3

dy = (1/3)[ztan ^-1 z]dz

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫dy = (1/3)∫ztan ^-1 z dz

y = (1/3)[tan ^{– 1} z ∫zdz – ∫{ ∫zdz}dz]

y = (z ² /6)tan ^-1 z – 

y = (z ² /6)tan ^-1 z – (1/6)∫1 – \frac{1}{(1 + z^2)}dz

y = (z ² /6)tan ^-1 z – (1/6)∫dz – (1/6)∫dz/(1 + z ² )

y = (z ² /6)tan ^-1 z – (z/6) – (1/6)tan ^-1 z

y = (1/6)(z ² + 1)tan ^-1 z – (z/6) + c     

y = (1/6)[(x ⁶ + 1)tan – 1(x ³ ) – (x ³ )] + c