Errores absolutos, relativos y porcentuales en análisis numérico

Primero conozcamos algunos conceptos básicos sobre los números utilizados en la aritmética de coma flotante o, en otras palabras, el análisis numérico y cómo se calculan.

Básicamente, todos los números que usamos en el análisis numérico son de dos tipos, como se muestra a continuación.

• Números exactos:
  los números que tienen su cantidad exacta significa que su valor no va a cambiar. Por ejemplo: 3, 2, 5, 7, 1/3, 4/5 o √2, etc.
• Números aproximados:
  estos números se representan en números decimales. Tienen algunos ciertos grados de precisión. Como el valor de π es 3.1416 si queremos un valor más preciso, podemos escribir 3.14159265, pero no podemos escribir el valor exacto de π.

  Estos dígitos que usamos en cualquier valor aproximado, o de otra manera dígitos que representan los números se llaman Dígitos Significativos.

Cómo contar dígitos significativos en un número dado:
por ejemplo:
en el valor normal de π (3.1416), hay 5 dígitos significativos y cuando escribimos un valor más preciso (3.14159265) obtenemos 9 dígitos significativos.
Digamos que tenemos números: 0.0123, 1.2300 y 0.10234. Ahora tenemos 4, 3 y 5 dígitos significativos respectivamente.
En la representación científica de los números:
2,345 × 10 ⁷ , 8,7456 × 10 ⁴ , 5,4 × 10 ⁶ tienen 4, 5 y 2 dígitos significativos respectivamente.

Error absoluto :
Sea X el verdadero valor de una cantidad y X ₁ el valor aproximado de esa cantidad . Por lo tanto, el error absoluto ha definido la diferencia entre X y X ₁ . El error absoluto se denota por E _A .

Hence EA= X-X1=δX 

Error relativo:
se define de la siguiente manera.

ER = EA/X = (Absolute Error)/X

Error porcentual:
se define de la siguiente manera.

EP= 100×EP= 100×EA/X

Digamos que tenemos un número δX = |X ₁ -X| _,   Es un límite superior en la magnitud del Error Absoluto y se conoce como Precisión Absoluta.

Análogamente, la cantidad δX/ |X| o δX/ |X ₁ | llamado Precisión Relativa.

Ahora resolvamos algunos ejemplos de la siguiente manera.

• Ej-1:
  Se nos da un valor aproximado de π que es 22/7 = 3,1428571 y el valor real es 3,1415926. ¿Calcular errores absolutos, relativos y porcentuales?
  Solución –

  We have True value X= 3.1415926, And Approx. value X1= 3.1428571.
  So now we calculate Absolute error,  we know that  EA= X - X1=δX
  Hence EA= 3.1415926- 3.1428571 = -0.0012645
  
  Answer is -0.0012645
  Now for Relative error we’ve (absolute error)/(true value of quantity) 
  Hence ER =  EA/X = (Absolute Error)/X, EA=(-0.0012645)/3.1415926  = -0.000402ans.
  
  Percentage Error, 
  EP= 100 × EA/X = 100 × (-0.000402) = - 0.0402ans.

• Ej-2 :
  Sean los valores aproximados de un número 1/3 0.30, 0.33, 0.34. Descubra la mejor aproximación.
  Solución:
  nuestro enfoque es que primero encontremos el valor del error absoluto, y cualquier valor que tenga el menor valor absoluto será el mejor. Entonces, primero calculamos los errores absolutos en todos los valores aproximados que se dan.
  <antes
  |XX ₁ | = |1/3 – 0,30| = 1/30
  |1/3 – 0,33| = 1/300
  |1/3 – 0,34| = 0,02/3 = 1/500

  Por tanto, podemos decir que 0,33 es el valor más preciso de 1/3;

• Ej-3:

  Encontrar la diferencia—

  √5.35 - √4.35
  

  Solución –

   
  √5.35 = 2.31300
  √4.35 = 2.08566
  Hence, √5.35 - √4.35 = 2.31300 – 2.08566 = 0.22734
  

  Aquí nuestra respuesta tiene 5 dígitos significativos que podemos modificar según nuestros requisitos.