Intuición detrás del teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, siendo ‘a’ la base, ‘b’ la altura y ‘c’ la hipotenusa de ese triángulo, entonces a ² +b ² =c ²

A continuación se muestra una ilustración de esto:

Ejemplo –

1. si la base de un triángulo rectángulo es 3, la altura es 4, ¿cuál es la longitud de su hipotenusa?
Solución –  dada, a=3, b=4 ,c=?
          Usando el teorema de Pitágoras, 
          a ² +b ² =c ²
          3 ² +4 ² =c ²
          √(9+16) =c
          c=5

2. si la hipotenusa de un triangulo rectangulo es 13, la altura es 5, entonces cual es la longitud de su base?
Solución –
dada, a=?, b=5 ,c=13    
Usando el teorema de Pitágoras,          
a ² +b ² =c ²         
a ² +5 ² =13 ²
a=√(169-25)
a=12

Intuición detrás del Teorema de Pitágoras:
Probemos este teorema usando las figuras. 
Dibuja cuadrados correspondientes a cada lado del triángulo de la siguiente manera:

Si miramos la figura de cerca, podríamos reformular el teorema de Pitágoras de la siguiente manera:
el área de 2 cuadrados es igual al tercer cuadrado.
es decir, a ² es el área del primer cuadrado
     b ² es el área del segundo cuadrado
     c ² es el área del tercer cuadrado

por lo tanto, a ² +b ² =c ²
Se puede mostrar otra prueba del teorema de Pitágoras reorganizando los triángulos para formar 2 cuadrados de la siguiente manera

Si comparamos los dos cuadrados, podemos encontrar que ambos cuadrados tienen una longitud de lado a+b, por lo que tienen la misma área.
En cada cuadrado, se usan cuatro triángulos rectángulos (aunque realineados de una manera diferente).
Entonces, podemos concluir que

área(1er cuadrado) =a rea(2do cuadrado)
c ² + 4* (área de un triángulo rectángulo)= a ² +b ² +4* (área de un triángulo rectángulo)
c ² =a ² +b ²  [cancelando los términos comunes de ambos lados]

Por lo tanto, se demuestra el teorema de Pitágoras.