ISRO | CS ISRO 2017 | Pregunta 2 – Part 8

Considere el conjunto de números enteros I. Sea D denotar «divide con un cociente de número entero» (por ejemplo, 4D8 pero4D7). Entonces D es

(A) Reflexivo, no simétrico, transitivo
(B) No reflexivo, no antisimétrico, transitivo
(C) Reflexivo, antisimétrico, transitivo
(D) No reflexivo, no antisimétrico, no transitivo

Respuesta: (B)
Explicación: Reflexibilidad: para todo x ∈ I, R(x,x) es reflexivo pero aquí R(0,0) es una violación ya que 0 pertenece al conjunto de los enteros pero no satisface esta relación.
Simétrica: para todo x ∈ I, R(x,y) y R(y,x) es simétrica y claramente la relación anterior no puede ser simétrica. Considerando el ejemplo S={1,2}.
Para que esto sea simétrico (1,2)(2,1), ambos pares ordenados deben estar presentes, pero también es una violación, ya que 2 se puede dividir por 1 pero 1 no se puede dividir por 2 para dar un cociente entero.
Antisimétrico: para todo x ∈ I, R(x,y) y R(y,x) entonces x=y es antisimétrico. Podemos cometer una violación fácilmente ya que R(-2,2) y R(2,-2) no son antisimétricos.
Transitividad: para todo x ∈ I , R(x,y), R(y,z) luego R(x,z). Esto siempre es cierto para la relación de división anterior. Entonces, la relación no es reflexiva, no es antisimétrica sino transitiva.

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