Rompecabezas 76 | Alternar celda de prisión

Había una prisión que constaba de 1000 celdas numeradas del 1 al 1000.

• Cada celda se puede marcar con el signo ‘+’ o ‘-‘. Inicialmente, todas las celdas estaban marcadas con el signo ‘-‘.
• Del día 1 al 1000, el carcelero alterna las marcas en la celda de + a – o viceversa.
• En el i-ésimo día, los signos en las celdas que son múltiplos de i se alternan.
• Ahora, en el proceso de verificación del día 1001, se abren todas las celdas marcadas con signos +.

¿Puedes identificar los números de celda con el signo ‘+’?

 
Solución: Los números de celda son 1, 4, 9, 16, 25, 36 y así sucesivamente.

Explicación:

Una celda se alterna tantas veces como el número de divisores que tiene. Por ejemplo, tomemos la celda número 20, se cambia los días 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

• Ahora podemos ver que los divisores vienen en pares como 20=1*20=2*10=4*5. Podemos ver que el número total de divisores es par. Pero esta tendencia no se sigue si el número es un cuadrado perfecto.
• En un cuadrado perfecto, el número total de divisores es impar. Vemos que las celdas están inicialmente marcadas con el signo – y solo las celdas numeradas como un cuadrado perfecto se cambian al signo + ya que tiene un número impar de divisores.

Estas celdas son 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 y así sucesivamente.

Este rompecabezas es aportado por Ankur Chaudhary. Escriba comentarios si encuentra algo incorrecto o si desea compartir más información sobre el tema tratado anteriormente.