PUERTA | PUERTA-CS-2001 | Pregunta 29

Considere las siguientes relaciones:

R1(a,b) iff (a+b) is even over the set of integers
R2(a,b) iff (a+b) is odd over the set of integers
R3(a,b) iff a.b > 0 over the set of non-zero rational numbers
R4(a,b) iff |a - b| <= 2 over the set of natural numbers

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
(A) R1 y R2 son relaciones de equivalencia, R3 y R4 no son
(B) R1 y R3 son relaciones de equivalencia, R2 y R4 no son
(C) R1 y R4 son relaciones de equivalencia, R2 y R3 no son
(D) R1, R2, R3 y R4 son todas relaciones de equivalencia

Respuesta: (B)
Explicación: Básicamente, tenemos que decir si estas relaciones son de equivalencia o no.

1. R1(a,b)
   • Reflexivo: Sí, porque (a+a) es par.
   • Symmetrix: Sí, (a+b) es par (b+a) es par.
   • Transitiva: Sí, porque (a+b) es par y (b+c) es par (a+c) es par.

   Entonces R1 es una relación de equivalencia.

2. R2(a,b)
   • Reflexivo: No, porque (a+a) es par.

   Entonces R2 no es una relación de equivalencia.

3. R3(a,b)
   • Reflexivo: Sí, porque aa > 0.
   • Symmetrix: Sí, ab > 0 ba > 0.
   • Transitiva: Sí, porque ab > 0 y bc > 0 ac > 0.

   Entonces R3 es una relación de equivalencia.

4. R4(a,b)
   • Reflexivo : Sí, porque |aa| 2.
   • Symmetrix: Sí, |ab| 2 |ba| 2.
   • Transitiva: No, porque |ab| 2 y |bc| 2 (ac) es par.

   Entonces R4 no es una relación de equivalencia.

Entonces la opción (b) es correcta.

Fuente:  http://www.cse.iitd.ac.in/~mittal/gate/gate_math_2001.html
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