Operaciones funcionalmente completas

Requisito previo: integridad funcional
Una función de conmutación se expresa mediante variables binarias, los símbolos de operación lógica y las constantes 0 y 1. Cuando cada función de conmutación puede expresarse mediante operaciones en ella, se dice que solo un conjunto de operaciones es funcionalmente completo .

1. El conjunto (Y, O, NO) es un conjunto funcionalmente completo.
2. Se dice que el conjunto (Y, NO) es funcionalmente completo.
3. También se dice que el conjunto (OR, NOT) es funcionalmente completo.

Aquí,
se dice que el conjunto (Y, NO) es funcionalmente completo ya que (O) se puede derivar usando las operaciones ‘Y’ y ‘NO’.
Ejemplo:

(X + Y) = (X'.Y')'
X'= compliment of X.
Y'= compliment of Y.

Se dice que el conjunto (O, NO) es funcionalmente completo ya que (Y) se puede derivar usando las operaciones ‘O’ y ‘NO’.
Ejemplo:

(X.Y) = (X' + Y')'

Nota:
Una función puede estar completamente funcionalmente completa, parcialmente funcionalmente completa o no funcionalmente completa en absoluto.

• Ejemplo-1:
  Si una función, f(X, Y, Z)= (X’ + YZ’), entonces verifique si está funcionalmente completa o no.
  Ponga Z = Y en la función anterior, por
  lo tanto,

   f(X, Y, Y)= (X' + YY')
            = (X' + 0) since, Y.Y'=0
            = X' (It is compliment i.e., NOT)

  Nuevamente, ponga X= X’ y Z= Y’ en la función anterior, por
  lo tanto,

  f(X', Y, Y')= (X')'+ Y(Y')'
             = (X + Y.Y) since, (X')'= X and (Y')'= Y
             = (X + Y) since, Y.Y= Y (It is OR operator)

  Por lo tanto, puede derivar los operadores NOT y OR de la función anterior, por lo que esta función es funcionalmente completa.

• Ejemplo-2:
  Si una función, f(X, Y)= (X’Y) , entonces verifique si está funcionalmente completa o no.
  Ponga X= (X’),
  Por lo tanto,

   f(X', Y)= (X')'.Y = X.Y (It is AND operator)

  Aquí, el operador AND se deriva ahora, necesita derivar el operador NOT para que sea funcionalmente completo.
  Si pones Y= 1,

  Then f(X, 1)= (X'), It is NOT operator.

  Por lo tanto, esta función está parcialmente funcionalmente completa ya que necesita (1) para derivar el operador NOT.
  Nota: Cada vez que toma la ayuda de las constantes (1 y 0) para hacer una función funcionalmente completa, esa función se llama función parcialmente completa.

• Ejemplo-3:
  si una función f (X, Y, Z) = (XY + YZ + ZX) , entonces verifique si esta función es funcionalmente completa o no.
  Para hacer que una función sea funcionalmente completa, es necesario derivar el operador NOT, pero aquí no hay complemento en la función, por lo que no es posible derivar el operador NOT.

  Por tanto, esta función no es en absoluto funcionalmente completa.