PUERTA | PUERTA-CS-2004 | Pregunta 90 – Part 1

La ecuación de recurrencia

T(1) = 1
T(n) = 2T(n - 1) + n, n ≥ 2 

evalúa a

una. 2 ^{n + 1} – n – 2
b. 2 ⁿ – n
c. 2 ^{n + 1} – 2n – 2
d. 2 ⁿ + n
(A) a
(B) b
(C) c
(D) d

Respuesta: (A)
Explicación: si dibujamos un árbol de recurrencia, podemos notar que el trabajo total realizado es,
T(n) = n + 2( n-1) + 4(n-2) + 8(n-3) + 2 ^n-1 * (n – n + 1)
T(n) = n + 2(n-1) + 4(n-2 ) + 8(n-3) + 2 ^n-1 * 1

Para resolver esta serie, usemos nuestro truco escolar, multiplicamos T(n) por 2 y restamos después de cambiar los términos.

2*T(n) =     2n + 4(n-1) + 8(n-2) + 16(n-3) + 2n 
  T(n) = n + 2(n-1) + 4(n-2) + 8(n-3) + 2n-1 * 1

Obtenemos

2T(n) - T(n) =  -n + 2 + 4 + 8 + ..... 2n
T(n) = -n + 2n+1 - 2 [Applying GP sum formula for 2, 4, ...]
     = 2n+1 - 2 - n

Alternate Way to solve is to use hit and try method.
Given T(n) = 2T(n-1) + n and T(1) = 1

For n = 2, T(2) = 2T(2-1) + 2 
                = 2T(1) + 2 
                = 2.1 + 2 = 4

Now when you will put n = 2 in all options, 
only 1st option 2^(n+1) - n - 2 satisfies it. 

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