PUERTA | PUERTA CS 2021 | Conjunto 1 | Pregunta 44

Sea G un grupo de orden 6 y H un subgrupo de G tal que 1<|H|<6. ¿Cuál de las siguientes opciones es la correcta?

(A) Tanto G como H son siempre cíclicos
(B) G puede no ser cíclico, pero H siempre es cíclico
(C) G siempre es cíclico, pero H puede no ser cíclico
(D) Tanto G como H pueden no ser cíclicos

Respuesta : (B)
Explicación: Podemos usar el teorema de Lagrange aquí, que establece que “El orden de cada subgrupo de G divide el orden de G”.

1<|H|<6. O(H) puede ser 2,3,4,5. 2 divide a 6, 3 divide a 6. Entonces H puede ser de orden 2 o 3, que es primo, por lo que H siempre es cíclico. El orden de G no es primo, por lo que puede no ser cíclico.
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