Sea G un grupo arbitrario. Considere las siguientes relaciones en G:
- R 1 : ∀a, b ∈ G, aR 1 b si y solo si ∃g ∈ G tal que a = g −1 bg
- R 2 : ∀a, b ∈ G, aR 2 b si y solo si a = b −1
¿Cuál de las anteriores es/son relación/relaciones de equivalencia?
(A) R 1 y R 2
(B) R 1 solamente
(C) R 2 solamente
(D) Ni R 1 ni R 2
Respuesta: (B)
Explicación: Dado que R 1 es una relación de equivalencia, porque satisface la relación reflexiva, simétrica , y condiciones transitivas:
- Reflexiva: a = g –1 ag se puede satisfacer poniendo g = e, la identidad “e” siempre existe en un grupo.
- Simétrico:
aRb ⇒ a = g–1bg for some g ⇒ b = gag–1 = (g–1)–1ag–1 g–1 always exists for every g ∈ G.
- Transitivo:
aRb and bRc ⇒ a = g1–1bg1 and b = g2–1 cg2 for some g1g2 ∈ G. Now a = g1–1 g2–1 cg2g1 = (g2g1)–1 cg2g1 g1 ∈ G and g2 ∈ G ⇒ g2g1 ∈ G since group is closed so aRb and aRb ⇒ aRc
R 2
no es equivalencia porque no satisface la condición reflexiva de la relación de equivalencia:
aR2a ⇒ a = a–1 ∀a which not be true in a group.
Entonces, la opción (B) es correcta.
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