PUERTA | Maqueta de puerta 2017 | Pregunta 38

Sea A = { 1,2,3,4,…….∞ } y una operación binaria ‘+’ está definida por a + b = ab ∀ a,b ∈ A. ¿Cuál de las siguientes es verdadera?

(A) ( A, + ) es un semigrupo pero no monoide

(B) ( A, + ) es un monoide pero no un grupo

(C) ( A, + ) es un grupo

(D) ( A, + ) no es un semigrupo

Respuesta: (B)
Explicación:
Dado, A = { 1,2,3,4,…….∞ }
A: ( A,+ ) para ser un semigrupo, tiene que satisfacer la propiedad de cierre y la propiedad asociativa
Cierre: dado, a + b = ab => 1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
Así que cualquier valor que tomemos para a,b su valor ab pertenece a A por lo que satisface el cierre.
Asociativo: para satisfacer la propiedad asociativa, debe cumplir
( a + b) + c = a + ( b + c )
Comprobación:
( a + b) + c = a + ( b + c )
ab + c = a + bc
abc = abc
Entonces, para todos los valores de a,b,c, la propiedad asociativa satisface
Monoid:
a + e = e + a = a, ∀ a ∈ A
ae = a
e = 1
El elemento de identidad es 1, entonces A es monoide.
Grupo:
a + b = b + a = e
No satisface la propiedad porque para todos los valores de a,b no es igual a e. Así que no es un grupo.

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