Álgebra vectorial

A menudo, mientras busca un lugar, la gente pregunta por direcciones. La respuesta habitual es ir en un lugar particular y por cierta distancia. Por lo tanto, se puede concluir que solo la dirección no es suficiente, la magnitud de la distancia a recorrer en esa dirección también es igualmente importante. En términos matemáticos, esta información sobre la dirección y la magnitud generalmente se transmite a través de vectores. Los vectores son muy útiles en el campo del diseño de juegos y la inteligencia artificial. Estudiemos el concepto de vector en detalle. 

Introducción a los vectores

En física y matemáticas, con frecuencia nos encontramos con varios tipos de cantidades. Todas estas cantidades se pueden clasificar en dos categorías principales: cantidades escalares y cantidades vectoriales. Considere un ejemplo: la altura y el peso de una persona se pueden describir con un solo número, como 75 kg o 150 cm. Estas cantidades solo tienen magnitud, no requieren ninguna información adicional. Tales cantidades se llaman cantidades escalares. Ahora, consideremos otra situación, por ejemplo, el entrenador del equipo de fútbol quiere enseñarle a su portero a pasar el balón a otro jugador, ahora tendrá que describir hacia la región a la que debe enviar el balón (Dirección) y con qué fuerza. debe golpear (magnitud). Esta cantidad requiere tanto magnitud como dirección. Tales cantidades se llaman vectores. 

Un vector es una cantidad que tiene una dirección y una magnitud. 

En la figura anterior, la longitud de la línea muestra la magnitud del vector y la punta de flecha apunta a su dirección. Es básicamente un segmento de línea dirigido  . Su punto de partida A se llama punto inicial y el punto B donde termina se llama punto terminal. 

tipos de vectores

Los vectores se pueden clasificar en diferentes categorías en función de su magnitud y dirección: 

1. Vector cero: Un vector cuyos puntos inicial y terminal coinciden, se llama vector cero. No se le puede asignar ninguna dirección o magnitud.
2. Vector unitario: Un vector que tiene una magnitud unitaria. Un vector unitario en la dirección del vector dado   se denota por  .
3. Vectores co-iniciales: Los vectores que parten de un mismo punto se denominan vectores co-iniciales.
4. Vectores colineales: se dice que dos vectores son colineales si son paralelos a la misma línea, independientemente de sus magnitudes y direcciones.
5. Vector igual: dos vectores se consideran iguales si tienen la misma dirección y magnitud.
6. Negativo de un Vector : Es un vector cuya magnitud es la misma, pero la dirección es opuesta a la de un vector.

Adición de vectores

 Se puede pensar en un vector  como un desplazamiento del punto A al punto B. Para comprender la necesidad de sumar y restar vectores, considere un ejemplo. En la figura, Laxmi va del punto A al punto B y luego al punto C siguiendo los vectores que se muestran en la figura. Ahora, después de llegar al punto C, el desplazamiento neto realizado por esta niña es de A a C, que viene dado por el vector  . 

Esto se puede expresar en términos de vectores como, 

 = 

Esto se conoce como la ley del triángulo de la suma de vectores. En general, para dos vectores   y   su suma se hace de manera que el punto inicial de un vector coincida con los puntos terminales del otro. 

En la figura anterior, tenemos dos vectores a y b dados en la parte (i), en la parte (ii) el vector b se desplaza sin cambiar su dirección y magnitud de modo que ahora el punto inicial del vector   se encuentra en el punto final del vector una. En el caso de la resta, la dirección del vector b es inversa y luego se suman ambos vectores. 

La suma y la diferencia tienen conceptos y métodos casi similares, excepto que al calcular la diferencia se invierte la dirección de un vector. 

Si esos dos vectores se representan como lados adyacentes de paralelogramos, entonces su suma en magnitud y dirección representa la diagonal del paralelogramo. Esto se conoce como la ley del paralelogramo de la suma de vectores. 

Propiedades de la suma de vectores 

Propiedad 1: La suma de vectores sigue la propiedad conmutativa. Para dos vectores   y  .  

Propiedad 2: La suma vectorial de tres vectores sigue la propiedad asociativa. 

Multiplicación de Vectores con un escalar

Digamos que   es un vector dado y «k» es un escalar. El producto del escalar aumentará o disminuirá la magnitud del vector. La dirección del vector seguirá siendo la misma. El aumento o disminución en la magnitud del vector dependerá del valor del escalar que se multiplica por el vector. La siguiente figura muestra el vector A multiplicado por alguna cantidad escalar. Observe cómo cambia la longitud del vector después de ser multiplicado por un escalar. 

La magnitud del vector será, 

Cuando k = -1, la dirección del vector se invierte, 

Esto se llama el inverso aditivo del vector. 

Veamos algunos ejemplos de problemas sobre estos conceptos.

Problemas de muestra

Pregunta 1: De las siguientes cantidades, encuentre las cantidades que son vectores: 

1. Peso
2. Fuerza
3. Velocidad
4. Altura

Responder:

1. El peso no necesita instrucciones para expresarse. Por lo tanto, es una cantidad escalar. 

2. La fuerza necesita la dirección hacia donde debe aplicarse. Por lo tanto, es una cantidad vectorial. 

3. La velocidad también tiene dirección. También es una cantidad vectorial. 

4. La altura se puede expresar simplemente como un número, no es necesario dar instrucciones. Por lo tanto, es una cantidad escalar. 

Entonces, solo la fuerza y ​​​​la velocidad son vectores. 

Pregunta 2: Indique si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. 

“Los vectores colineales son aquellos vectores que parten del mismo punto”

Responder: 

Este estado es Falso. 

De acuerdo con la definición antes mencionada, 

«Se dice que dos vectores son colineales si son paralelos a la misma línea, independientemente de sus magnitudes y direcciones».

Deben ser paralelos a la misma línea. No es necesario que los vectores que parten de un mismo punto sean paralelos a la misma recta. 

Figura 

Pregunta 3: La siguiente figura muestra cuatro vectores, 

Indique verdadero o falso en base a esta cifra. 

1.  y   son colineales
2.  y   son vectores co-iniciales.

Responder: 

(i)   y   son colineales 

Los vectores colineales son paralelos a la misma recta, estos vectores no son paralelos entre sí. No pueden ser paralelos a la misma línea. Por lo tanto, falso. 

(ii)   y   son vectores co-iniciales.

 y   no tienen los mismos puntos iniciales. Por lo tanto, no son vectores co-iniciales. 

Pregunta 4: Representa gráficamente, 40Km de desplazamiento 45° de este a norte. 

Solución: 

El valor del desplazamiento es de 40Km. Digamos que este punto está representado por La   magnitud de este vector es 40Km. 

Pregunta 5: Digamos que dos vectores están definidos   y 

Simplifica y encuentra 

Solución: 

Dado, 

 ….(1)

 ….(2) 

El objetivo es encontrar 

Sustituyendo los valores de estos vectores de la ecuación (1) y (2)

⇒

⇒

Pregunta 6: Para los vectores dados

Elija cuál de los siguientes representa mejor la 

Responder: 

Para sumar dos vectores, b debe trasladarse de manera que el punto inicial entre ellos sea el mismo. 

Entonces, la opción A representa la opción más cercana a la suma de estos dos vectores.