Análisis dimensional

La mayoría de las cosas físicas son medibles en este mundo. El sistema desarrollado por los humanos para medir estas cosas se llama sistema de medición. Cada medida tiene dos partes, un número (n) y una unidad (u). La unidad describe el número, qué es este número y qué significa. Por ejemplo, 46 ​​cm, aquí 46 es el número y cm es la unidad. Sin unidades, es imposible describir la cantidad.  

En el mundo físico, hay todo tipo de cantidades para medir. Tan pequeño como el tamaño de un átomo, tan grande como la distancia entre los planetas. También se hace necesario convertirlos de una unidad a otra. Esta conversión se llama análisis unitario o análisis dimensional. El análisis unitario es solo otra forma de razonamiento proporcional. En él, la medida se multiplica por alguna proporción conocida y da un resultado con una unidad diferente. Para decirlo en general, es un método para multiplicar o dividir un número por una razón conocida para encontrar otra unidad.

Tipos de Unidades

1. Unidades fundamentales: Las cantidades que no se derivan de ninguna otra cantidad se denominan cantidades fundamentales. Las unidades utilizadas para medir estas cantidades se denominan unidades fundamentales. Por ejemplo, las cantidades fundamentales son la longitud, la masa, el tiempo, la corriente eléctrica, la temperatura, la intensidad, la cantidad de sustancia. Amperio, Kelvin, Candela, mol. Las unidades que miden estas cantidades se llaman unidades fundamentales.
2. Unidades derivadas: las cantidades que se derivan de otras cantidades se denominan cantidades derivadas. Las unidades que se utilizan para medir estas cantidades se denominan unidades derivadas. Por ejemplo, la fuerza, la aceleración, la presión, la energía y la potencia son cantidades derivadas.  

Dimensiones y fórmula dimensional

Cada cantidad debe expresarse en una sola unidad. Para ello, todas las unidades fundamentales que intervienen en esa cantidad se elevan a determinadas potencias. Estas potencias se llaman dimensiones.

Todas las unidades fundamentales elevadas a cierta potencia se juntan en una expresión. Esta expresión se llama la fórmula dimensional de esa cantidad.

Por ejemplo, la velocidad se representa como v = L ¹ T ^-1 . Aquí 1 y -1 se llaman las dimensiones y L ¹ T ^-1 es la fórmula dimensional.  

Análisis dimensional

Si necesitamos verificar la validez de una ecuación, entonces el análisis dimensional viene al rescate. El análisis dimensional también se denomina método de etiqueta de factor o método de factor de unidad, ya que los factores de conversión se utilizan para obtener las mismas unidades. Si desea verificar si una ecuación dada es correcta o no, puede calcular las dimensiones en ambos lados (LHS y RHS), si ambas dimensiones son iguales, entonces la ecuación es correcta; de lo contrario, es incorrecta.

Por ejemplo –  

Si olvidas si  

1. Velocidad = distancia*tiempo

2. Velocidad = distancia/tiempo

Análisis dimensional en 1

LHS = LT-1

RHS = LT

IZQ != DERECHO  

Por lo tanto, está mal

Análisis dimensional en 2

LHS = LT-1

RHS = L/T = LT-1

LHS = RHS

De ahí su derecho.

Principio de homogeneidad del análisis dimensional

Si cada término en ambos lados de una ecuación tiene la misma fórmula dimensional, entonces la ecuación es dimensionalmente correcta. Este es el principio de homogeneidad. Es útil porque ayuda a convertir unidades de un sistema a otro.  

Por ejemplo –  

Tenemos una ecuación física,  

S = ut + 1/2 en ²

LHS es distancia,  

Entonces dimensión de LHS = L ¹ M ⁰ T ⁰

lado derecho,

En marco dimensional,

= [u][t] + [a][t] ²

= [LT ^-1 ][T] + [LT ^-2 ][T] ²

= [L] + [L]

Ambos términos de RHS son iguales a LHS, por lo tanto, esta ecuación es dimensionalmente correcta y se mantiene el principio de homogeneidad del análisis dimensional.  

Aplicaciones del análisis dimensional

Uno de los aspectos más importantes de la medición es el análisis dimensional, y tiene diversas aplicaciones como,

1. Se utiliza para comprobar la corrección de una ecuación o cualquier relación utilizando el principio de homogeneidad. Si las dimensiones en ambos lados son iguales, entonces la ecuación también es dimensionalmente correcta.

2. También se utiliza para convertir las unidades de un sistema a otro.

3. También representan la naturaleza de la cantidad física.

4. El análisis dimensional también se usa para derivar fórmulas.

Limitaciones del análisis dimensional

También hay muchas limitaciones del análisis dimensional. pocos de ellos son

1. No proporciona ninguna información sobre constantes dimensionales.

2. Las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas no pueden derivarse del análisis dimensional.

3. Usando el análisis dimensional, no podemos encontrar si una cantidad es un escalar o un vector.

Variables dimensionales y adimensionales

Las variables que tienen dimensiones y no tienen valores fijos se denominan variables dimensionales. Ejemplo: velocidad, aceleración, trabajo, potencia, etc.

Las variables que no tienen valores fijos y no tienen dimensiones se denominan variables adimensionales. Ejemplo: gravedad específica, fricción, relación de Poisson.

Hay cantidades adimensionales con unidades – Desplazamiento angular – radianes, constante de Joule – joule/caloría

También cantidades adimensionales sin unidades – Números puros – π, e, sen θ, cos θ.

Las variables que tienen dimensiones y también los valores fijos se llaman constantes dimensionales. Ejemplo: constante gravitacional (G), constante universal de gas (R), velocidad de la luz en el vacío (c).

Deducir la relación entre cantidades físicas usando análisis dimensional

Derivemos la fórmula para la fuerza centrípeta, F, que actúa sobre un objeto que se mueve en un círculo uniforme.

Sabemos que la fuerza centrípeta que actúa sobre una partícula depende de su masa (m), la velocidad con la que se mueve (v) y el radio del círculo (r).

 F = metro ^un v ^segundo r ^c

 Escribir las dimensiones de todas las cantidades.

 [MLT-2] = M ^a [LT ^-1 ] ^b L ^c

 Al simplificar,  

 [MLT ^-2 ] = M ^a [L ^b+c T ^-b ]

 Usando el principio de homogeneidad,

 un = 1,  

 b + c = 1

 segundo = 2

 Al resolver obtenemos

 a = 1, b = 2, c = -1

Por lo tanto la fuerza centrípeta, F es

F= k (m*v ² )/r

Problemas de muestra 

Problema 1: Determinar la fórmula dimensional de la energía cinética.

Solución:

La fórmula de la energía cinética es 1/2 mv ² 

La fórmula dimensional para la velocidad se puede calcular como,

 = [M]

   Lo sabemos,

   Velocidad = distancia/tiempo

   Fórmula dimensional de la velocidad = [LT ^-1 ]

   Por lo tanto, energía cinética = [M ^1L2T-2]

Problema 2: Recuerdas πr ² y 2πr como fórmulas del área y la circunferencia del círculo, pero no puedes recordar cuál fórmula es para el área y cuál para la circunferencia. Encuentre usando análisis dimensional.

Solución:

   Fórmula 1 – πr ² = [π].[r] ²

   

   Como π es una constante, entonces es adimensional

   Entonces, = 1. [L] ²

   

   El radio tiene la dimensión de la longitud, por lo tanto, la fórmula 1 tiene la fórmula dimensional del área.

   Área = πr ²

   Fórmula 2 – 2πr = 2.[π].[r]

   

   Como π es una constante, entonces es adimensional

   

   Entonces, = 2.1. [L] = dimensión de longitud

   

   El radio tiene la dimensión de la longitud, por lo tanto, la fórmula 2 tiene la fórmula dimensional de la circunferencia.

   Circunferencia = 2πr

Problema 3: ¿Es v = at dimensionalmente correcto?

Solución:

Aquí, LHS: velocidad, v 

v = [LT- ¹ ]

Y, RHS = en ie aceleración × tiempo

Aceleración = [LT ^-2 ]

Tiempo = [T]

Por lo tanto, en = [LT ^-1 ]

Por eso,

LHS = RHS

y la ecuación dada es dimensionalmente correcta.

Problema 5: ¿Qué son las constantes dimensionales?

Solución:

Aquellas constantes que tienen dimensión se denominan constantes dimensionales. Por ejemplo: constante de Planck, constante de Joule, etc.

Problema 5: ¿Qué son las variables dimensionales?

Solución:

Las cantidades físicas que tienen dimensión pero no tienen un valor fijo. Por ejemplo: velocidad, desplazamiento, etc.