Analítica de funciones complejas comunes

La analiticidad de una función compleja es una propiedad no trivial. Sin embargo, existe una gran clase de funciones que son analíticas y estas funciones son nuestro tema de interés en esta sección. 

Funciones racionales 

Las funciones racionales son funciones que se pueden expresar como P(z)/Q(z) , donde P(z) y Q(z) son polinomios. Las funciones racionales son analíticas en todas partes excepto donde Q(z) se vuelve cero en el plano complejo (o los polos de la función). Para demostrar que las funciones racionales son analíticas en general, podemos intentar aplicar las ecuaciones de Cauchy-Riemann a una función racional general, siendo P(z) un polinomio de grado ny Q(z) un polinomio de grado m. Sin embargo, este método es tedioso y es posible que te rindas en el medio. 

Una forma esclarecedora de probar esto es observar que las funciones analíticas obedecen a leyes generales satisfechas por las derivadas de funciones reales, como que la derivada de la suma o diferencia de dos funciones es la suma o diferencia de las derivadas de las funciones individuales. De nuevo, tenemos la conocida regla del producto. Los podemos escribir como:

[f(z)+g(z)]' = f'(z)+g'(z) and [f(z)g(z)]' = f'(z)g(z)+f(z)g'(z) and [cf(z)]' = cf'(z) .

Claramente, las potencias de z son analíticas ya que z es analítico. Y los polinomios son sumas de potencias de z multiplicadas por constantes. Por lo tanto, son claramente analíticos. 

De manera similar, también tenemos la regla del cociente.

[f(z)/g(z)]' = [f'(z)g(z) - f(z)g'(z)]/g(z)2

siempre que g(z) no sea igual a cero. Entonces las funciones racionales son analíticas excepto en los polos de la función.

Una cosa interesante acerca de las funciones analíticas es que cualquier función que contenga z* no es analítica. Y cualquier función racional es analítica si la dependencia z* se anula a partir del numerador y el denominador. Podemos comprobar si es un criterio válido. Expresando z* = x +iy , tenemos 

Ahora, separemos f en u y v. 

Entonces, si f es analítica, entonces debería ser cero. Por lo tanto, no debería haber ninguna z* en f para que f sea analítica.

Exponencial complejo

Sea z = x + iy un número complejo y defina la exponencial compleja exp(z) o e ^z como:

exp(z) = exp(x + i y) = ex(cosy + i siny)

exp(z) no es solo analítico, es completo. Podemos descomponer exp(z) en partes real e imaginaria, 

u(x,y) = excosy and v(x,y) = exsiny

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen mediante exp(z), 

Entonces la derivada de exp(z) es 

¡Al igual que la función exponencial real! 

La función exponencial tiene muchas propiedades análogas a la exponencial real, como exp(z1+z2)=exp(z1)exp(z2) . 

Sin embargo, hay una característica interesante de la exponencial compleja sin analogías reales: es periódica con un período de 2πi. Esto es trivial porque, a partir de la definición, podemos ver que 

exp(z+2πi) = exp(x + i y + 2πi ) = ex[cos(y+2π) + i sin(y+2π)] = ex(cosy + i siny) = exp(z) 

el seno y el coseno son periódicos con periodos de 2π. 

Esto implica que la función exponencial no es uno a uno. En particular,

exp(z1) = exp(z2) implies z1 = z2 +2πik, where k ∈ I

Entonces, podemos dividir todo el plano de Argand en franjas horizontales de ancho 2π, donde exp(z) sería uno a uno. 

Funciones trigonométricas complejas

Definimos :

Están enteros (¡compruébalo!). Además, comparten algunas propiedades de los senos y cosenos reales. 

Sin embargo, existe una diferencia importante entre las funciones trigonométricas reales y complejas: mientras que las funciones reales de seno y coseno están acotadas entre -1 y 1, sus contrapartes complejas no lo están. Para ver esto, dividámoslos en partes reales e imaginarias:

Vemos funciones hiperbólicas, que claramente no están ligadas.

Logaritmo complejo

Por analogía con el logaritmo natural real, definimos el logaritmo complejo como una inversa de la función exponencial compleja. En otras palabras, decimos que un logaritmo de un número complejo z distinto de cero es cualquier número complejo w tal que exp(w) = z. En otras palabras, definimos la función log(z) por

w = log(z) if and only if z = exp(w) .

De la periodicidad de la función exponencial se deduce que si w = log(z) también lo es w + 2πik para cualquier entero k. Por lo tanto, vemos que log(z) es una función de valores múltiples. 

De hecho, log(z) tiene valores múltiples debido a que la función de argumento de z arg(z) tiene valores múltiples. Sabemos que todo número complejo se puede representar como z = |z|e ^iθ , donde |z| es la magnitud de z y θ=arg(z). Por lo general, tomamos el valor principal de arg(z), es decir, -π<θ≤π. Pero, cualquier θ+2π hubiera sido igual de bueno. En particular, arg(z) = Arg(z) + 2πk , donde Arg(z) representa el valor principal de arg(z) y k ∈ I . 

Now, log(z) = Log|z| + i arg(z) = Log|z| + i Arg(z) + 2πik.

donde Log|z| representa la función logarítmica real porque |z| es (obviamente) real. 

La definición anterior se cumple porque:

exp[ Log|z|+i arg(z) ] = eLog|z|[ cos(arg(z)) + i sin(arg(z)) ] = x + i y = z.

So, log(1) = Log|1|+i arg(1) = 2πik and log(-1) = Log|-1| + i arg(-1) = iπ + 2πik = i(2k+1)π . 

El logaritmo complejo tiene propiedades similares a los logaritmos reales. 

log(z1.z2) = log(z1)+log(z2) and log(z1/z2) = log(z1) - log(z2) .

Por supuesto, estas definiciones se cumplen igualmente si sumamos un 2πik a cada una de ellas. En general, 

log(z1.z2) = log(z1)+log(z2) + 2πik and log(z1/z2) = log(z1) - log(z2) + 2πik .

Pasamos ahora a la discusión de las propiedades de analiticidad de la función de logaritmo complejo. Para discutir la analiticidad de una función, necesitamos investigar su diferenciabilidad, y para esto, necesitamos poder tomar su derivada:

Nos encontramos con un obstáculo inmediato: dado que la función log(z) es multivaluada, debemos asegurarnos de que las dos funciones logarítmicas en el numerador tiendan al mismo valor en el límite, de lo contrario, el límite no existirá. En otras palabras, tenemos que elegir uno de los infinitos valores para la función logarítmica de manera consistente. Esta forma de restringir los valores de una función de valores múltiples para que sea de un solo valor en alguna región (en el ejemplo anterior en alguna vecindad de z0) se llama elegir una rama de la función. Por ejemplo, definimos la rama principal Log(z) de la función logarítmica como 

Log(z) = Log |z| + i Arg(z). 

La función Log(z) tiene un solo valor, pero tiene un precio: ya no es continua en todo el plano complejo ya que Arg(z) no es continua en todo el plano complejo. la rama principal Arg(z) de la función argumento es discontinua a lo largo del eje real negativo. Para ver esto, tome z = -x + iε, donde x>0 y ε tiende a ser 0 desde dos direcciones, es decir, ε⇢0+ y ε⇢0-. Cuando ε⇢0+, Arg(z) = π y cuando ε⇢0-, Arg(z) = -π. Por tanto, Arg(z) es discontinua para todo x<0. Por lo tanto, Log(z) también es discontinuo. 

Sea D todos los puntos del plano complejo excepto los que son reales y no positivos; en otras palabras, D es el complemento del eje real no positivo. Log(z) tiene un solo valor y es continuo para todos los puntos en D. Ahora comprobaremos que también es analítico allí. Para esto, necesitamos calcular su derivada. 

donde para llegar a la segunda línea usamos el hecho de que w = w ₀ implica z = z ₀ (un solo valor de la función exponencial), y para llegar a la tercera línea usamos la continuidad de Log(z) en D para deducir que w → w ₀ como z → z ₀ . Ahora usando que z = e ^w vemos que lo que tenemos aquí es el recíproco de la derivada de la función exponencial,

Mismo resultado que en cálculo real. Este resultado es válido para todos los puntos en D, por lo que Log(z) es analítico en D. 

Poder complejo

Con la función de logaritmo a nuestra disposición, podemos definir las potencias complejas de los números complejos. Sea α un número complejo. Para todo z ≠ 0, definimos 

El valor múltiple del argumento significa que genéricamente habrá un número infinito de valores para z ^α . Podemos reescribir un poco la expresión anterior para hacer esto manifiesto:

donde k es un número entero.