ANOVA unidireccional

ANOVA es una técnica estadística paramétrica que ayuda a averiguar si existe una diferencia significativa entre la media de tres o más grupos. Comprueba el impacto de varios factores comparando grupos (muestras) sobre la base de su media respectiva. 

Podemos usar esto solo cuando: 

• las muestras tienen una distribución normal.
• las muestras se seleccionan al azar y deben ser independientes entre sí.
• todos los grupos tienen desviaciones estándar iguales.

ANOVA unidireccional

Es un tipo de prueba de hipótesis donde solo se considera un factor. Usamos la estadística F para realizar un análisis de varianza unidireccional. 

Pasos involucrados

Step 1 - Define the null and alternative hypothesis. 

H0 -> μ1 = μ2 = μ3 (where μ = mean)
Ha -> At least one difference among the means.

Step 2 - Find the degree of freedom between and within the groups. [Using Eq-1 and Eq-2]
    Then find total degree of freedom. [Using Eq-3]

where k = number of groups. 

where 
n = number of samples in all groups combined.
k = number of groups. 

Para el siguiente paso, necesitamos entender qué es la estadística F. 

Valor F: se define como la relación entre la varianza entre muestras y la varianza dentro de las muestras. Se obtiene al realizar la prueba ANOVA. Eq-4 muestra la fórmula del valor F para ANOVA unidireccional.

Step 3 - Refer the F-Distribution table and find Ftable using dfbetween and dfwithin. 
As per the given F-Distribution table,  
    df1 = dfbetween
    df2 = dfwithin 
[use the given value of α while referring the table.]

Step 4 - Find the mean of all samples in each group. 
 Then use Eq-5 to find the Grand mean. (μGrand)

where,
∑G = sum of all sample values.
n = number of samples.

Step 5 - Find the sum of squares total using Eq-6 and sum of squares within using Eq-7.
     Then find sum of squares between using Eq-8.

where, xi = ith sample

where, 
xi = ith sample.
μi = mean of ith group. 

Step 6 - Find the variance (μ2 or S2) between and within samples using Eq-9 and Eq-10.

Step 7 - Find Fcalc using Eq-11. 

Interpretación de los resultados

if Fcalc < Ftable :
    Don't reject null hypothesis.
    μ1 = μ2 = μ3
    
if Fcalc > Ftable :
    Reject null hypothesis.

Problema de ejemplo 

Considere el ejemplo dado a continuación para comprender paso a paso cómo realizar esta prueba. Se registran las notas de 3 asignaturas (sobre 5) de un grupo de alumnos. (como se indica en la siguiente tabla) 
[Tome α = 0.05]

Estándar/Sub	ingles	Matemáticas (m)	ciencia
Estudiante 1	2	2	1
estudiante 2	4	3	2
Estudiante 3	2	4	5

Step 1 -
Null hypothesis,      H0 -> μE = μM = μS (where μ = mean)
Alternate hypothesis, Ha -> At least one difference among the means of the 3 subjects.

Step 2 -
As per the table, 
k = 3
n = 9
dfbetween = 3 - 1 = 2 [Eq-1]
dfwithin = 9 - 3 = 6  [Eq-2]
dftotal = 2 + 6 = 8  [Eq-3]

Step 3 - On referring to the F-Distribution table (link), using df1 = 2 
 and df2 = 6 at α = 0.05: we get, Ftable = 5.14

Step 4 - μe = (2 + 4 + 2)/3=(8/3) = 2.67
      μm = (2 + 3 + 4)/3 = (9/3) = 3.00
     μs = (1 + 2 + 5)/3 = (8/3) = 2.67
 
      μgrand = (8 + 8 + 9)/9 = (25/9) = 2.78

Step 5 - SStotal =  (2 - 2.78)2 + (4 - 2.78)2 + (2 - 2.78)2 +
            (2 - 2.78)2 + (3 - 2.78)2 + (4 - 2.78)2 +
            (1 - 2.78)2 + (2 - 2.78)2 + (5 - 2.78)2 
             = 13.60
      
     SSwithin = (2 - 2.67)2 + (4 - 2.67)2 + (2 - 2.67)2 +
           (2 - 3.00)2 + (3 - 3.00)2 + (4 - 3.00)2 +
           (1 - 2.67)2 + (2 - 2.67)2 + (5 - 2.67)2  
             = 13.34
    
    SSbetween = 13.60 - 13.34 = 0.23

Step 6 - S2between = (0.23/2) = 0.12 
     S2within = (13.34/6) = 2.22

Step 7 - Fcalc = (0.12/2.22) = 0.05 

Since, Fcalc < Ftable (0.05 < 5.14)
    we cannot reject the null hypothesis. 

Por lo tanto, podemos decir que las medias de los tres sujetos son las mismas.

ANOVA unidireccional compara tres o más de tres grupos categóricos para establecer si existe una diferencia entre ellos. La estrategia fundamental de ANOVA es examinar sistemáticamente la variabilidad dentro de los grupos que se comparan y también examinar la variabilidad entre los grupos que se comparan. Para cualquier duda/consulta, comenta abajo.