Aplicación de la Derivada Parcial – Dos máximos y mínimos variables

Las derivadas parciales se pueden usar para encontrar el valor máximo y mínimo (si existen) de una función de dos variables. Intentamos ubicar un punto estacionario que tenga pendiente cero y luego trazar valores máximos y mínimos cerca de él. La aplicación práctica de máximos/mínimos es maximizar las ganancias para una curva dada o minimizar las pérdidas.

Sea f(x,y) una función de valor real y sean (pt,pt’) los puntos interiores en el dominio de f(x,y) entonces,

• pt, pt’ se llama punto de máximos locales si hay un h > 0 tal que f(pt,pt’) ≥f(x,y), para todo x en (pt – h, pt’ + h), x≠a El valor f(pt,pt’) se denomina valor máximo local de f(x,y).
• pt, pt’ se llama punto de mínimos locales si existe un h < 0 tal que f(pt,pt’) ≥f(x,y), para todo x en (pt – h, pt’ + h), x≠a El valor f(pt,pt’) se denomina valor mínimo local de f(x,y).

Algoritmo para encontrar máximos y mínimos de funciones de dos variables:

1. Encuentre los valores de x e y usando f _xx =0 y f _yy =0  [ NOTA : f _xx y f _yy son las dobles derivadas parciales de la función con respecto a x e y respectivamente.]
2. El resultado obtenido se considerará estacionario/puntos de inflexión para la curva.
3. Cree 3 nuevas variables r, t y s.
4. Encuentre los valores de r, t y s usando r=f _xx, t=f _yy , s=f _xy
5. Si ( rt-s ² )| _{(puntos estacionarios)} >0  (Máxima/Mínima) existe
6. Si (rt-s ² )| _{(puntos estacionarios)} <0 (sin máximos/mínimos)/(punto de silla)
7. Si r=f _xx >0 (Mínimos) 
8. Si r=f _xx <0 (Máximo)

Ejemplo 1 :

La función f(x,y)=x ² y−3xy+2y+x tiene                

• (a) Sin extremo local
• (b) Un mínimo local pero ningún máximo local
• (c) Un máximo local pero ningún mínimo local
• (d) Un mínimo local y un máximo local

Explicación :

Respuesta: A

r=∂2f/∂x2=2y
s=∂2f/∂x∂y=2x−3
t=∂2f/∂y2=0

Ya que, rt−s ² ≤0, (si rt-s ² < 0 entonces no tenemos máximos ni mínimos, si = 0 entonces no podemos decir nada).

Existirán máximos cuando rt−s ² >0 y r<0.

Existirán mínimos cuando rt−s ² >0 y r>0.

Como rt−s ² nunca es mayor que 0, no tenemos ningún extremo local.

Ejemplo-2:

Encuentre los mínimos locales de la función f(x , y) = 2x ² + 2xy + 2y ² – 6x

fx(x,y) = 4x + 2y - 6=0    (1)
fy(x,y) = 2x + 4y=0        (2)

Al resolver (1) y (2) obtenemos,

x=2,y=-1
r=∂2f/∂x2=4
s=∂2f/∂x∂y=2
t=∂2f/∂y2=4
rt−s2=12

Como rt−s ² >0 yr>0. Así, (2,-1) es el punto de mínimos locales.

Ejemplo-3:

Encuentra los máximos/mínimos de f(x , y) = x ² +y ² + 6x +12

fx(x,y) = 2x+6=0     (1)
fy(x,y) = 2y=0       (2)

Al resolver (1) y (2) obtenemos,

x=-3,y=0
r=∂2f/∂x2=2
s=∂2f/∂x∂y=0
t=∂2f/∂y2=2

Como rt−s ² >0 yr>0. Así, (-3,0) es el punto de mínimos locales.