De acuerdo con la Ley de Gauss, el flujo eléctrico total que sale de una superficie cerrada es igual a la carga contenida dividida por la permitividad. El flujo eléctrico en un área se define como el campo eléctrico multiplicado por el área superficial proyectada en un plano perpendicular al campo.
Ahora que hemos establecido qué es la ley de Gauss, veamos cómo se usa. ¿Le parece que esto ya es una tarea desafiante? Será mucho más fácil ahora. Vale la pena señalar que la ley de Gauss se puede usar para resolver problemas electrostáticos complicados con simetría única, como simetría plana, esférica o cilíndrica. Entonces, contrariamente a la creencia popular, aplicar la Ley de Gauss a su trabajo podría hacerlo más simple.
Aplicaciones de la Ley de Gauss
Ahora veremos algunas de las aplicaciones de la ley de Gauss. Para empezar, sabemos que en algunas situaciones calcular el campo eléctrico es bastante difícil y requiere mucha integración. La ley de Gauss se utiliza para facilitar el cálculo del campo eléctrico.
Primero veamos cómo podemos aplicar la legislación antes de aprender más sobre las aplicaciones. Necesitamos elegir una superficie gaussiana que simplifique la evaluación del campo eléctrico. Para facilitar las cosas, se debe emplear la simetría. También es importante darse cuenta de que la superficie gaussiana no tiene que coincidir con la superficie real. Puede estar en el interior o en el exterior de la superficie gaussiana.
Campo eléctrico debido a alambre infinito
Considere un cable que es infinitamente largo y tiene una densidad de carga lineal λ. Para calcular el campo eléctrico, utilizamos una superficie Gaussiana cilíndrica. El flujo a través del extremo de la superficie será 0 ya que el campo eléctrico E es radial.
Debido a que el campo eléctrico y el vector de área son perpendiculares entre sí, este es el caso. Podemos argumentar que la magnitud del campo eléctrico será constante ya que es perpendicular a todos los puntos de la superficie curva.
Campo eléctrico debido a alambre infinito
La superficie cilíndrica curva tiene un área de superficie de 2 π r l. El flujo eléctrico que fluye a través de la curva es igual a E × (2 π rl).
Según la Ley de Gauss:
ϕ = q ⁄ ε 0
mi × (2 π rl) = λ l ⁄ ε 0
mi = λ ⁄ 2 π ε 0 r
Es importante tener en cuenta que si la densidad de carga lineal es positiva, el campo eléctrico es radial hacia afuera. Sin embargo, si la densidad de carga lineal es negativa, será radialmente hacia adentro.
Campo Eléctrico Debido a Hoja de Plano Infinito
Considere una hoja plana infinita con un área de sección transversal A y una densidad de carga superficial σ. La hoja del plano infinito está en la siguiente posición:
Campo Eléctrico Debido a Hoja de Plano Infinito
El campo eléctrico generado por una hoja de carga infinita es perpendicular al plano de la hoja. Considere una superficie Gaussiana cilíndrica cuyo eje es perpendicular al plano de la hoja. La Ley de Gauss nos permite calcular el campo eléctrico E de la siguiente manera:
ϕ = q ⁄ ε 0
La carga q será la densidad de carga (σ) por el área (A) en distribución de carga continua. Solo consideraremos el flujo eléctrico desde los dos extremos de la superficie gaussiana imaginada cuando discutamos el flujo eléctrico neto. Podemos explicarlo por el hecho de que el área de la superficie curva y el campo eléctrico son perpendiculares entre sí, lo que da como resultado un flujo eléctrico cero. Como resultado, el flujo eléctrico neto:
ϕ = EA − (− EA)
ϕ = 2 EA
Asi que,
2 EA = σ UN ⁄ ε 0
mi = σ ⁄ 2 ε0
La fórmula anterior muestra que el campo eléctrico generado por una hoja plana infinita es independiente del área de la sección transversal A.
Campo eléctrico debido a una capa esférica delgada
Considere una capa esférica delgada con un radio «R» y una densidad de carga superficial de σ. La concha posee simetría esférica. El campo eléctrico debido a la capa esférica se puede calcular de dos maneras:
- Fuera de la capa esférica
- Dentro de la capa esférica
Echemos un vistazo más de cerca a estos dos escenarios.
Campo eléctrico fuera de la capa esférica
Tome un punto P fuera de la capa esférica a una distancia r del centro de la capa esférica para obtener el campo eléctrico. Usamos una superficie esférica gaussiana con radio r y centro O para la simetría. Debido a que todos los puntos están igualmente espaciados “r” desde el centro de la esfera, la superficie gaussiana pasará por P y experimentará un campo eléctrico constante E alrededor. Entonces, Por lo tanto, el flujo eléctrico total:
ϕ = q ⁄ ε 0 = mi × 4 π r 2
La carga contenida dentro de la superficie, q = σ × 4 π R 2 . Como resultado,
mi × 4 π r 2 = σ × 4 π R 2 ⁄ ε 0
mi = σ R 2 ⁄ ε 0 r 2
El campo eléctrico también se puede escribir en forma de carga como:
mi = kq ⁄ r 2
Es importante tener en cuenta que si la densidad de carga superficial σ es negativa, el campo eléctrico será radialmente hacia adentro.
Campo eléctrico dentro de la capa esférica
Miremos un punto P dentro de la capa esférica para ver cómo es el campo eléctrico allí. Podemos usar la simetría para crear una superficie gaussiana esférica que pase por P, esté centrada en O y tenga un radio de r. Ahora, con base en la Ley de Gauss,
ϕ = q ⁄ ε 0 = mi × 4 π r 2
Dado que la densidad de carga superficial se distribuye fuera de la superficie, no hay carga contenida dentro de la capa. Por lo tanto, el campo eléctrico de la fórmula anterior también es cero, es decir,
E = 0 ya que q = 0.
Problemas de muestra
Problema 1: un cuenco hemisférico de radio r se coloca en una región del espacio con un campo eléctrico uniforme E. Averigüe el flujo eléctrico a través del cuenco.
Solución:
El área de la superficie del recipiente dado, dA = 2 π r 2
Las líneas de campo son paralelas al eje del plano del recipiente, es decir, θ = 0°
El flujo eléctrico, ϕ = E (dA) cosθ
= E (2 π r 2 ) cos0°
= mi (2 π r 2 )
Por lo tanto, el flujo eléctrico a través del recipiente es E (2 π r 2 ) .
Problema 2: ¿Cómo varía el flujo eléctrico a través de la superficie gaussiana si el radio de la superficie gaussiana que contiene una carga se reduce a la mitad?
Solución:
Incluso cuando el radio es la mitad, la carga total contenida en la superficie gaussiana permanece igual. Como resultado, según la teoría de Gauss, el flujo eléctrico total permanece constante. El flujo eléctrico no variará al atravesar la superficie gaussiana.
Problema 3: Una superficie cilíndrica de radio r y longitud l, encierra un delgado hilo recto de conducción infinitamente largo con densidad de carga cuyo eje coincide con la superficie. Encuentre la fórmula para el flujo eléctrico a través de la superficie del cilindro.
Solución:
Un alambre delgado, recto e infinitamente largo tiene una distribución de carga lineal uniforme. Considere la carga encerrada por la superficie cilíndrica ser q.
Densidad de carga lineal, λ = q ⁄ l
Por lo tanto, carga encerrada por la superficie, q = λ l
El flujo eléctrico total a través de la superficie del cilindro, ϕ = q ⁄ ε 0
= λ l ⁄ ε 0
Por lo tanto, la fórmula para el flujo eléctrico a través de la superficie del cilindro es λ l ⁄ ε 0 .
Problema 4: ¿Por qué no se puede aplicar la Ley de Gauss en una superficie ilimitada?
Solución:
Sólo una superficie cerrada es válida para la Ley de Gauss. El cubo, ya sea sólido o hueco, es una superficie cerrada sobre la que se puede aplicar la Ley de Gauss. Sin embargo, debido a que no hay significado de carga confinada por la superficie en el caso de una superficie ilimitada, la Ley de Gauss no se puede aplicar.
Problema 5: Una carga de 2×10 -8 C se distribuye uniformemente sobre la superficie de una esfera de 2 cm de radio. Está cubierto por una esfera conductora hueca concéntrica de 5 cm de radio. Encuentre el campo eléctrico en un punto a 3 cm del centro.
Solución:
Consideremos la siguiente figura.
Esfera dentro de una capa concéntrica.
Suponga que necesitamos ubicar el campo en el punto P. P debe usarse para dibujar una superficie esférica concéntrica. Todos los puntos de esta superficie son comparables, y el campo en cada uno de ellos será igual en magnitud y dirección radial debido a la simetría.
El flujo a través de esta superficie = ∮ E dS
= E ∮ dS
= mi (4 π r 2 )
donde r = 3 cm = 3 × 10 -2 m
Este flujo es igual a la carga q contenida dentro de la superficie dividida por ε 0 según la ley de Gauss.
De este modo,
mi (4 π r 2 ) = q/ε 0
mi = q ⁄ 4 π ε 0 r 2
= ( 9 × 10 9 ) × [(2 × 10 -8 )/(9 × 10 -4 )]
= 2 × 10 5 norte ⁄ C
El campo eléctrico en un punto a 3 cm del centro es 2 × 10 5 N ⁄ C .