Aplicaciones de la trigonometría

El concepto y las diferentes razones de la trigonometría ya se estudiaron en el capítulo anterior. Aquí hay algunas aplicaciones básicas de la trigonometría que necesitan ser discutidas. Como se sabe, la trigonometría es una de las materias antiguas que se estudia en todo el mundo. La trigonometría tiene mucho uso en astronomía para calcular la distancia entre los planetas y las estrellas. En el día a día se puede utilizar la trigonometría para calcular la distancia de forma sencilla. Antes de llegar a la aplicación principal, primero debe aclarar términos básicos como el ángulo de elevación, la línea de visión, el ángulo de depresión, etc.

Por lo general, la altura se mide en la dirección vertical mientras se distancia en la dirección horizontal desde un punto determinado. Uno tendrá más claridad acerca de estos términos a medida que repase cada uno de los temas que se proporcionan a continuación.

Ángulo de elevación

Considere a una persona mirando la parte superior de la torre de luz como en la siguiente figura:

Figura 1

En esta figura, la línea DE dibujada desde el ojo del niño hasta la parte superior de la torre se llama Línea de Visión .

El ángulo entre la línea de la vista y el nivel horizontal en el ojo del niño, o ∠D, se llama ángulo de elevación .

Cuando medimos el ángulo de elevación, el observador debe levantar la cabeza y mirar por encima del nivel horizontal.

Figura 2

Aquí, si uno quiere calcular la altura de la torre sin medirla realmente, ¿qué y cuánta información se requiere? El siguiente detalle es necesario para saber la altura de la torre sin medirla;

Distancia, AB o CD, entre la torre y el punto donde se encuentra el niño.
El ángulo de elevación, ∠EDC, de la parte superior de la torre.
La altura del niño DA.

En el conocido ∠D es el opuesto del lado CE, y se sabe que el lado CD. Entonces, ¿aquí está la relación trigonométrica, que se puede usar para aplicar estas tres cantidades? Determine tan D o cot D ya que su relación involucra a CD y CE.

Al calcular la longitud de la torre o cualquier otro objeto, se debe tener en cuenta la longitud del niño para agregar el resultado obtenido de la relación trigonométrica. Con el siguiente ejemplo, este concepto será más claro.

Ángulo de depresión

Ahora considere una situación como la de la figura 4, una persona está mirando hacia una pelota desde un balcón. Su línea de visión está por debajo del nivel horizontal. El ángulo entre la línea de visión y el nivel horizontal se llama ángulo de depresión .

Por lo tanto, el ángulo de depresión del punto sobre el objeto es el ángulo entre el nivel horizontal y la línea de visión cuando el punto está por debajo del nivel horizontal.

Figura 4

En la figura anterior, la persona en el punto C mira hacia la pelota en B. CB es la línea de visión y AC es la altura del balcón.

En ∠BCD está el ángulo de depresión del punto B. Aquí está la altura del balcón AC = BD y la distancia de la pelota desde el pie del suelo del edificio AB = CD. De acuerdo con los datos proporcionados, se puede usar la relación trigonométrica, ya que puede involucrar cantidades conocidas y desconocidas.

Problemas de muestra

Problema 1: Un poste se encuentra verticalmente en el plano. Desde un punto en el plano, que está a 12 m del pie del poste, el ángulo de elevación de la parte superior del poste es de 30° Halla la altura del poste.

Solución:

Primero, dibuje un diagrama simple del problema dado como se muestra a continuación:

figura 3

En esta figura, BC representa la altura del poste eléctrico y ∠CAB o ∠A representa el ángulo de elevación de la parte superior de la torre. En ΔABC, ∠CAB es el ángulo recto y AB = 12 m. En ΔABC, se necesita determinar CB, es decir, la altura del poste.

Para resolver el problema dado, use la relación trigonométrica tan A o cot A, ya que involucran lados dados en proporciones.

Ahora,

$\tan A = \dfrac{CB}{AB}$

es decir

$\tan 30^{\degree}=\dfrac{CB}{12}$

o

$\begin{aligned}CB&=12\tan30^{\degree}\\&=4\sqrt{3}\text{ m}\end{aligned}$

Por lo tanto, la altura de la encuesta es 4√3.

Problema 2: Un chico sobre sirve dos nubes desde un punto determinado. El ángulo de elevación de las nubes es de 30° y 45°. Si la altura de las nubes desde la superficie del suelo es la misma y la distancia entre las nubes es de 300 m, averigüe la altura de la nube.

Solución:

Primero, dibuje un diagrama simple del problema dado como se muestra a continuación.

En esta figura, CE y BD representan la altura de las nubes y ∠DAB y ∠EAC representan el ángulo de elevación de las nubes en el punto A. En ΔABD, ∠DBA es el ángulo recto, si la altura de la nube BD es h luego usando la relación trigonométrica tan A

$\tan A=\dfrac{BD}{AB}$

es decir

$\tan 45^{\degree}=\dfrac{h}{AB}$

o

AB = h (Ya que, tan 45° = 1)

En ΔACE, ∠ACE es el ángulo recto, si la altura de la nube CE es h, entonces usando la relación trigonométrica como:

$\tan A = \dfrac{CE}{AC}$

es decir

$\tan30^{\degree} = \dfrac{h}{AC}$

o

$\begin{aligned}\dfrac{1}{\sqrt{3}}&=\dfrac{h}{AC}\\AC&=h\sqrt{3}\end{aligned}$

es decir

CA = h√3

De la figura 4 anterior,

CA = AB + BC

Dado: BC = 300.

Por lo tanto,

h√3 = h + 300

es decir

$\begin{aligned}h&=\frac{300}{\sqrt{3}-1}\\&=410.96\text{ m}\end{aligned}$

Por lo tanto, la altura de la nube es 410,96 m.

Problema 3: El ángulo de elevación del pájaro, que estaba posado en un árbol, desde un punto en el suelo, que está a 60 m del pie del árbol, es de 60°. Encuentra la altura del árbol. (Tome √3 = 1.73).

Solución : Primero, elabore un diagrama simple del problema dado como se muestra a continuación:

En la figura anterior, AB representa la distancia entre el punto del suelo y el pie del árbol, es decir, 60 m. BC es la altura del árbol, supongamos h.

En ΔABC, ∠ABC es el ángulo recto y el ángulo de elevación es ∠B, es decir, 60°.

Usando la relación trigonométrica tan A,

$\tan A = \dfrac{BC}{AB}$

o

$\begin{aligned}\tan 60{\degree}&=\dfrac{h}{60}\\h&=60\sqrt{3}\text{ m}\\&=103.8\text{ m}\end{aligned}$

Por lo tanto, la altura del árbol es de 103,8 m.

Problema 4: El ángulo de depresión de una bicicleta, parada en un parque, desde lo alto de un edificio de 45 m de altura, es de 30°. ¿Cuál es la distancia de la bicicleta desde la base del edificio (en m)?

Solución:

A continuación se muestra un diagrama simple del problema dado.

En la figura anterior, AB representa la distancia entre la base del edificio y la bicicleta. AC es la altura del edificio, es decir, 45 m.

En ΔBCD, ∠BCD es el ángulo recto y el ángulo de la depresión es ∠C, es decir, 30°. Usando la relación trigonométrica tan C en ΔBCD.

$\tan C = \dfrac{BD}{CD}$

Aquí AC = BD y AB = CD.

es decir

$\begin{aligned}\tan 30{\degree}&=\dfrac{45\text{ m}}{AB}\\AB&=45\sqrt{3}\text{ m}\\&=77.85\text{ m}\end{aligned}$

Por tanto, la distancia entre la base del edificio y la bicicleta es de 77,85 m.

Problema 5: Un electricista necesita reparar una falla eléctrica para solucionar el problema del suministro eléctrico en un pueblo. La altura del poste eléctrico, en el que existe la falla, es de 7 m. Quiere llegar a un punto por debajo de 1,5 m de la parte superior del poste para reparar la falla. ¿Qué longitud de la escalera debe usar para llegar a la posición requerida si la escalera se inclina a 60° con respecto a la horizontal? También encuentre a qué distancia debe colocar la escalera del pie del poste (Tome √3 = 1.73).

Solución:

Primero, dibuje un diagrama básico del problema dado como se muestra a continuación:

En esta figura, BC es la escalera, AD es la longitud total del poste, el punto C es donde quiere llegar el electricista.

Dado que CD = 1,5 m y AD = 7 m.

Por lo tanto,

CA = AD – CD

es decir

CA = 7 – 1,5 m

= 5,5 metros

En ΔABC, ∠B es 60° y ∠A es un ángulo recto,

$\sin B=\dfrac{AC}{BC}$

o

$\begin{aligned}\sin 60{\degree}&=\dfrac{5.5}{BC}\\BC&=5.5\times\dfrac{4}{\sqrt{3}}\\&=12.71 \text{ m}\end{aligned}$

Y, en ΔABC,

$\tan B=\dfrac{AC}{AB}$

o

$\begin{aligned}\tan 60{\degree}&=\dfrac{5.5}{AB}\\AB&=\dfrac{5.5}{\sqrt{3}}\\&=3.17 \text{m}\end{aligned}$

Por lo tanto, la longitud de la escalera BC es de 12,71 my la distancia entre la escalera y el pie del poste AB es de 3,17 m.

Problema 6: El ángulo de elevación de una nube desde un punto, que está en algún lugar de la superficie del agua de un lago, es de 30°. El ángulo de depresión de la sombra de una nube en el agua del lago desde el mismo punto es de 60°. Si la altura de la nube es de 75 m, encuentre la profundidad de la sombra. (Tome √3 = 1.73).

Solución:

Primero, dibuje un diagrama básico del problema dado como se muestra a continuación:

En esta figura, AB es la superficie del agua del lago. Los puntos C y D representan la nube y su sombra respectivamente. ∠ABC y ∠ABD son los ángulos rectos. BC es la altura de la nube, es decir, 75 my BD es la profundidad de la sombra. ∠BAC y ∠BAD son el ángulo de elevación y el ángulo de depresión, es decir, 30 ° y 60 ° .

En ΔABC,

$\tan A = \dfrac{BC}{AB}$

es decir

$\begin{aligned}\tan 30{\degree}&=\dfrac{75}{AB}\\AB&=75\sqrt{3}\text{ m}\\&=129.75 \text{ m}\end{aligned}$

Ahora en ΔABD,

$\tan A = \dfrac{BC}{AB}$

o

$\begin{aligned}\tan60{\degree}&=\dfrac{BD}{AB}\\BD&=AB\sqrt{3}\text{ m}\\&=224.46\text{ m}\end{aligned}$

Por lo tanto, la profundidad de la sombra es de 224,46 m.

Problema 7: Considere el siguiente diagrama:

Si el √ACB es el ángulo recto, encuentre el AB y el CD (Tome √3 = 1.73).

Solución:

En ΔACD, usa la relación trigonométrica sen A,

$\sin A = \dfrac{CD}{AD}$

es decir

$\begin{aligned}\sin 30{\degree}&=\dfrac{CD}{5}\\\dfrac{1}{2}&=\dfrac{CD}{5}\\CD&=2.5 \text{ m}\end{aligned}$

Y,

$\cos A = \dfrac{AC}{AD}$

es decir

$\begin{aligned}\cos 30{\degree}&=\dfrac{AC}{5}\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}&=\dfrac{AC}{5}\\AC&=4.33\text{ m}\end{aligned}$

En ΔBCD, usa la relación trigonométrica $\tan B$ ,

$\tan B = \dfrac{CD}{BC}$

es decir

$\begin{aligned}\tan45{\degree}&=\dfrac{CD}{BC}\\1&=\dfrac{CD}{BC}\end{aligned}$

BC = CD = 2,5 m

De la figura dada:

es decir

CA = AB + BC

o

AB = 4,33m – 2,5m

= 1,83 metros

Por lo tanto, AB = 1,83 m y CD = 2,5 m.

Problema 8: Un niño de 1,5 m de altura mira hacia dos edificios. Ambos edificios tienen una altura de 12 m. El ángulo de elevación de la parte superior de los edificios es de 45° y 60°. Encuentra la distancia entre los dos edificios y la distancia del niño al edificio cercano.

Solución:

Un diagrama simple del problema dado se dibuja a continuación

Figura 6

En la figura anterior, CB y GH representan los dos edificios, CG es la distancia entre los dos edificios, CD y GD es la distancia entre el niño y el pie de los edificios de EB y FH respectivamente.

En ΔCDE y ΔFDG,

EC = FG = EB – AD (Ya que, AD = CB = GH)

es decir

CE = FG = 12 m – 1,5 m

o

CE = FG = 10,5 m

En ΔCDE, ∠CDE es igual a $60\degree$ y ∠DCE es el ángulo recto.

$\tan D=\dfrac{EC}{CD}$

es decir

$\begin{aligned}\tan60{\degree}&=\dfrac{10.5}{CD}\\CD&=\dfrac{10.5}{\sqrt{3}}\end{aligned}$

o

$\begin{aligned}\tan60{\degree}&=\dfrac{10.5}{CD}\\CD&=\dfrac{10.5}{\sqrt{3}}\\&=6.07\text{ m}\end{aligned}$

En ΔFDG, ∠FDG es $45{\degree}$ y ∠FGD es ángulo recto.

$\tan D = \dfrac{FG}{GD}$

es decir

$\begin{aligned}\tan45{\degree}&=\dfrac{10.5}{GD}\\GD&=10.5\text{ m}\end{aligned}$

La distancia entre los edificios es:

CG = GD – CD

= 10,5 m – 6,07 m

= 4,43 metros

Por tanto, la distancia entre los edificios CG es de 4,43 my la distancia entre el niño y el pie del edificio cercano CD es de 6,07 m.