Aplicaciones de valores propios y vectores propios

Valor propio: el conjunto específico de escalares conectados con el sistema de ecuaciones lineales se conoce como valores propios. Las ecuaciones matriciales son donde se emplea más comúnmente. El término alemán ‘Eigen’ denota ‘apropiado’ o ‘característico’. Como resultado, el valor propio también puede denominarse valor característico, raíz característica, valores apropiados o raíces latentes. Para decirlo de otra manera, un valor propio es un escalar que se utiliza para convertir un vector propio. La fórmula básica es

Ax = λx

El valor propio de A es el número o valor escalar “λ”.

Vector propio: cuando se aplica una transformación lineal, los vectores propios son vectores distintos de cero que no cambian de dirección. Solo varía según la cantidad escalar. En pocas palabras, si A es una transformación lineal de un espacio vectorial V y x es un vector distinto de cero en V, entonces v es un vector propio de A si A(X) es un múltiplo escalar de x. Un conjunto de todos los vectores propios con el valor propio idéntico, junto con el vector cero, constituye un espacio propio del vector x. El vector cero, sin embargo, no es un vector propio. Si A es una array “nn” y es un valor propio de A, entonces x, un vector distinto de cero, se llama vector propio si cumple la siguiente expresión:

Ax = λx

x es uno de los vectores propios del valor A que corresponde al valor propio λ.

Aplicaciones de los valores propios y vectores propios de una array cuadrada

1. Sistema de comunicación: Claude Shannon utilizó valores propios para calcular el límite teórico de cuánta información se puede transportar a través de un canal de comunicación, como una línea telefónica o el aire. Se calculan los vectores propios y los valores propios del canal de comunicación (representados como una array ), y luego los valores propios se rellenan con agua. Los valores propios son esencialmente las ganancias de los modos fundamentales del canal, que son registrados por los vectores propios .

2. Construcción de puentes: el valor propio de menor magnitud de un sistema que modela el puente es la frecuencia natural del puente. Los ingenieros utilizan este conocimiento para garantizar que sus estructuras sean estables.

3. Diseño de sistemas estéreo para automóviles: el análisis de valores propios también se emplea en el diseño de sistemas estéreo para automóviles, donde ayuda en la reproducción de la vibración del automóvil causada por la música.

4. Ingeniería eléctrica: es ventajoso el uso de valores propios y vectores propios para desacoplar sistemas trifásicos mediante la transformación de componentes simétricos.

5. Ingeniería mecánica: los valores propios y los vectores propios nos permiten «descomponer» un proceso lineal en tareas más pequeñas y manejables. Cuando se aplica tensión a un sólido «plástico», por ejemplo, la deformación se puede dividir en «direcciones principales» o las direcciones donde la deformación es mayor. Los vectores propios en las direcciones principales son los vectores propios, y el valor propio asociado es el porcentaje de deformación en cada dirección principal.

Las empresas petroleras suelen utilizar el análisis de valores propios para explorar terrenos en busca de petróleo. Debido a que el aceite, la suciedad y otras sustancias producen sistemas lineales con valores propios variables, el análisis de valores propios puede ayudar a identificar dónde se encuentran las reservas de petróleo. Las compañías petroleras instalaron sondas alrededor de un sitio para captar las olas creadas por un enorme camión que hace vibrar el suelo. Las ondas se modifican cuando se desplazan a través de las diferentes sustancias de la tierra. Las corporaciones petroleras son encaminadas a posibles sitios de perforación en base al estudio de estas olas.