Aproximaciones y Máximos y Mínimos – Aplicación de Derivadas | Clase 12 Matemáticas

Una aproximación es similar pero no exactamente igual a otra cosa. La aproximación ocurre cuando se desconoce o es difícil obtener un número numérico exacto. En Matemáticas, usamos la diferenciación para encontrar los valores aproximados de ciertas cantidades. 

Sea f una función dada y sea y = f(x). Sea ∆x un pequeño incremento en x.

Ahora el incremento en y como el incremento en x, denotado por 

∆y, viene dado por ∆y = f (x + ∆x) – f (x)

Definimos lo siguiente:

(i) dx (la diferencial de x) está definida por dx = ∆x.

(ii) dy (la diferencial de y) está definida por dy = f'(x) dx o dy = (dy/dx) * ∆x

Si dx = ∆x es relativamente pequeño en comparación con x dy ≈ ∆y.

Ejemplo: Encuentra el valor aproximado de √26.

Solución: 

Aquí es muy fácil encontrar el valor de debajo de la raíz si el número dado es un cuadrado perfecto, pero para este tipo de números tenemos que usar las derivadas para encontrar el valor aproximado de la función. 

Sea f(x) =√x y la derivada de esto es f'(x)= 1/2x^1/2 

Ahora sabemos la fórmula de aproximación. 

∆y ≈ ∆x = (dy/dx). ∆xf(x+∆x)- f(x) = f'(x). ∆xf(x+∆x)= f(x) + f'(x). ∆x 

Aquí supondremos x cerca de 25 que es un cuadrado perfecto. 

Asumiremos x = 25 x2 – x1 = 26 – 25 = 1

Aquí nos dice el cambio en x. Sea x = 25 y ahora pondremos los valores en la formula 

f(x + ∆x) = f(x) + f'(x). ∆xf(25 + 1) 

= f(25) + f'(25) f(26) = √25 + (1/2.25^1/2).1 

= 5 + 1/10 √26 

= 5 + 0,1 

= 5,1 

Aproximación y errores

Si usamos la derivada de f(x), esto nos da el cambio exacto en f(x) sobre el intervalo infinitamente pequeño dx. Como sabemos, la tasa de cambio instantáneo se define usando el límite como un valor discreto para un cambio en x, de modo que ∆x tiende a cero.

Ejemplo 1 : Encuentra el valor de (8.01)4/3 + (8.01)2(8.01)4/3 + (8.01)2 

Solución: 

Sea y = f(x) = x4/3 + x2y = f(x) = x4/3 + x2 

Sea x0 = 8 para que y0 = 16 + 64 = 80 

Δx = 0,01 ⇒ Δy = f′(x) × Δx = (43 x 1/3 + 2x) × Δx = (83+16) × 0,01 

=0.563=0.1867  

⇒y0=y0+Δy 

=80.1867

Ejemplo 2: Encuentra el valor aproximado de f(3.02), donde f(x) = 3x ² + 5x + 3. 

Solución:  

Sea x = 3 y Δx = 0.02. Después,

ya que, f(3.02) = f(x + Δx) = 3(x + Δx) ² + 5(x + Δx) + 3

Tenga en cuenta que Δy = f(x+Δx) – f(x). 

Por lo tanto,

f(x + Δx) = f(x) + Δy

≈ f(x) + f'(x)Δx (como ds = Δx)

f(3.02) ≈ (3x ² + 5x + 3) + (6x + 5)Δx

= (27 + 15 + 3) + (18 + 5)(0,02)

= 45 + 0,46 = 45,46

Por lo tanto, el valor aproximado de f(3.02) es 45.46

máximos y mínimos

Sea f una función definida en un intervalo I. Entonces

(a) Se afirma que f posee un valor máximo en I, si existe algún grado de c en I tal que f(c) > f (x), para todo x ∈ I. 

El número f (c) se denomina el valor máximo de f en I y, por lo tanto, el punto c se denomina alguna medida del valor máximo de f en I.

(b) se afirma que f posee un valor mínimo en I, si existe algún grado de c en I tal que f (c) < f (x), para todo x ∈ I.

El número f (c), en este caso, se denomina el valor mínimo de f en I y, por lo tanto, el punto c, en este caso, se denomina algún grado de valor mínimo de f en I.

(c) Se afirma que f posee un valor extremo en I si existe algún grado de c en I tal que f (c) sea un valor máximo o un valor mínimo de f en I.

El número f (c), en este caso, se denomina valor extremo de f en I y, por lo tanto, el punto c se denomina extremo.

Prueba de la primera derivada

Sea f una función definida en un intervalo ilimitado I y f continua en un punto c en I. Entonces

(i) Si f ′(x) cambia de signo de positivo a negativo a medida que x aumenta a través de c, es decir, si f ′(x) > 0 en todos los puntos suficientemente al borde y a la izquierda de c, y f ′( x) < 0 en todos los puntos suficientemente al borde y al propio de c, entonces c puede ser un punto de máximos locales.

(ii) Si f ′(x) cambia de signo de negativo a positivo a medida que x aumenta a través de c, es decir, si f ′(x) < 0 en todos los puntos suficientemente al borde y a la izquierda de c, y f ′( x) > 0 en todos los puntos suficientemente al borde y al propio de c, entonces c puede ser un punto de mínimos locales.

(iii) Si f ′(x) no cambia de signo a medida que x aumenta a través de c, entonces c no es ni una extensión de máximos locales ni una extensión de mínimos locales. Tal punto se llama punto de Inflexión

Ejemplo 1: Encuentra todos los puntos de máximos locales y mínimos locales de la función f(x) = 2×3– 6×2+ 6x +5.

Solución: 

Tenemos f(x) = 2×3 – 6×2 + 6x + 5 o f ′(x) = 6×2 – 12x + 6 = 6 (x – 1)2

o podemos decir, f ′(x) = 0 en x = 1

Así, el único punto crítico de f es x = 1

Ejemplo 2: para la función, encuentre los puntos de máximos locales y mínimos locales si los hay:

                                       f(x) = -x ³ + 3x ² – 3x

Solución: 

la derivada es

                                        f'(x) = -3(x-1) ²

Esto nunca estará indefinido, por lo que x = 1 es el único punto crítico. Como (x – 1) ² es positivo para todo x ≠ 1, la derivada

f ‘(x) = -3(x – 1)2 es negativa para todo x ≠ 1.

Como f es decreciente, en ambos lados de la recta numérica, no tenemos un mínimo ni un máximo en x = 1.

Prueba de la segunda derivada

Sea f una función definida en un intervalo I y c ∈ I. Sea f dos veces derivable en c. Después

(i) x = c puede ser un punto de máximos locales si f ′(c) = 0 y f ″(c) < 0 el valor de f (c) es el valor máximo local de f.

(ii) x = c puede ser un punto de mínimos locales si fc ′( ) 0 = y f ″(c) > 0 en este caso, f (c) es el valor mínimo local de f.

(iii) La prueba falla si f ′(c) = 0 y f ″(c) = 0. En este caso, volvemos a la prueba de la derivada primaria y encontramos si c puede ser un punto de máximos locales, mínimos locales o cierto grado de inflexión.

El número f (c), en este caso, se denomina valor extremo de f en I y, por lo tanto, el punto c se denomina extremo.

Ejemplo: Encuentre todos los puntos de máximos locales y mínimos locales de la función f(x) = 2x ³ – 6x ² + 6x +5 si los hay.

Solución: 

Tenemos (x) = 2x ³ -6x ² + 6x + 5 o

f'(x) = 6x ² – 12x + 6 = 6(x ​​– 1) ²

f”(x) = 12(x – 1)

Ahora f ′(x) = 0 da x =1. También f ″(1) = 0. Por lo tanto, la prueba de la segunda derivada falla aquí. Entonces, consideraremos la prueba de la primera derivada

Ya hemos visto en el ejemplo anterior que, usando el criterio de la primera derivada, x =1 no es ni un punto de máximos locales ni un punto de mínimos locales, por lo que es un punto de inflexión.