Vemos sólidos en todas partes donde miramos. La mayoría de las veces, estos sólidos tienen forma de cubo, cilindro, cono, etc., o una forma que combina estas formas. Es esencial en muchos de los problemas de la vida real que sepamos calcular el área y el volumen de estas formas. Por ejemplo, un pintor puede querer saber el área que tiene que pintar para la forma dada. De manera similar, antes de hacer una bola esférica de metal, necesitamos saber cuánto material se requerirá. Todas estas cosas requieren cierto conocimiento del volumen y las áreas superficiales de las formas básicas. Veámoslos en detalle.
Área de superficie y volumen de formas sólidas
El área de la superficie es el área que describe la cantidad de material utilizado para cubrir un sólido geométrico, mientras que el volumen se puede definir como una medida de cuánto espacio ocupa el sólido. Es fundamental conocer las fórmulas para calcular áreas y volúmenes de formas básicas. Veamos la superficie de las siguientes formas:
Cuboides
La siguiente figura muestra la forma de paralelepípedo, esta es la forma de nuestras cajas, cartones, etc., nuestro objetivo es derivar las fórmulas para calcular su área de superficie y el volumen. Digamos que la longitud del paralelepípedo es «l», el ancho es «b» y la altura es «h».
Área de superficie de cuboide
Para calcular el área de la superficie del cubo, abrámoslo como en la figura que se muestra a continuación. Ahora la figura muestra el cuboide aplanado. Tiene 6 rectángulos que corresponden a las seis caras del paralelepípedo. Para el área de superficie del cubo, necesitamos encontrar el área total de todos los rectángulos.
Superficie total = Área del rectángulo 1 + Área del rectángulo 2 + Área del rectángulo 3 + Área del rectángulo 4 + Área del rectángulo 5 + Área del rectángulo 6
⇒ (l × h) + (l × b) + (l × h) + (l × b) + (b × h) + (b × h)
⇒ 2(lh + lb + bh)
Por lo tanto, el área de la superficie del cuboide = 2 (lh + lb + bh)
Volumen de Cuboide
Sabemos que el volumen de una región está dado por su magnitud, es decir cuánto espacio ocupa.
El volumen de un paralelepípedo = área de la base x altura
= l × b × h
= libras
Cubo
El cubo es una forma sólida que tiene todos sus lados de igual longitud. Sabemos que un cubo es simplemente un paralelepípedo con todos los lados iguales. Nuestro objetivo es derivar las fórmulas para calcular el área de la superficie y el volumen del cubo. La siguiente figura representa un cubo. Observa que todos los lados son iguales y se parece al cuboide. Un cubo es básicamente un paralelepípedo que tiene todos sus lados de igual longitud. Eso es,
l = segundo = h = un
Donde “a” es la longitud del lado del cubo.
Área de superficie del cubo
Por lo tanto, poniendo esto en la fórmula anterior
Superficie del cubo = 2(a 2 + a 2 + a 2 )
⇒ 2(3a 2 ) = 6a 2
Volumen del cubo
Similar al método anterior, sustituyamos la longitud del lado en la fórmula.
Volumen = lbh
= aaa
= un 3
Cilindro circular recto
Las latas de cola que usamos son un ejemplo de un cilindro circular recto. También se puede encontrar en otros lugares de nuestra vida, por ejemplo, nuestros bolígrafos también se parecen a los cilindros. La siguiente figura muestra un cilindro y su versión desenrollada que se utilizará para calcular el área de superficie. Digamos que la altura del cilindro es «h» y su radio es «r».
Área de superficie del cilindro
La figura de arriba muestra un cilindro cuando está desenrollado. Se vuelve fácil encontrar su área de superficie una vez que se desenrolla. Observe que el cilindro, una vez desenrollado, parece un rectángulo. El ancho del rectángulo estará dado por “h” pero el largo estará dado por la circunferencia del cilindro.
Circunferencia del cilindro = 2πr
Área del rectángulo = 2πrh
Por lo tanto, el área de la superficie del cilindro circular recto = 2πrh
Área de superficie total del cilindro circular recto = Área de superficie del cilindro + Área de la base
= 2πrh + 2πr 2 = 2πr(r+h)
Volumen del cilindro
Volumen del cilindro = área de la base x altura
= πr 2 × h
= πr 2h
Esfera
Una esfera es una figura tridimensional (figura sólida), que se compone de todos los puntos en el espacio, que se encuentran a una distancia constante llamada radio, de un punto fijo llamado Centro de la esfera. La siguiente figura muestra una esfera y su versión aplanada cuando se corta. Esto se utiliza para calcular el área de la superficie de la esfera.
Área de superficie de una esfera
Como en los casos anteriores, cortaremos la esfera y la aplanaremos.
En la figura podemos ver que cuando se corta una esfera, se genera un área equivalente a cuatro esferas.
Por lo tanto, el área de la superficie de la esfera = 4πr 2
Volumen de la Esfera
Esta fórmula se prueba experimentalmente, por lo que no podemos presentar ninguna prueba aquí.
Volumen de la esfera =
Cono
Un cono es una figura tridimensional que tiene la base como un círculo y la altura se estrecha y se une en un punto al final. Apex es el nombre del extremo puntiagudo del cono, vemos muchas formas en forma de cono en nuestra vida cotidiana, por ejemplo, el helado tiene forma de cono, etc.
En la siguiente figura, el cono tiene un radio de «r» y una altura de «h».
Área de superficie del cono
El área de la superficie del cono está dada por
Superficie curva Área del cono =
Dónde,
Volumen de cono
El volumen del cono está dado por,
Volumen del cono =
Hemisferio
Imagina un plano dividiendo la esfera en dos partes iguales, cada parte se conoce como Hemisferio. El término hemisferio se usa para explicar las diferentes partes del globo, hemisferio norte, hemisferio sur, hemisferio este, hemisferio occidental.
Área de superficie de un hemisferio
Dado que un hemisferio es la mitad de una esfera, el área de la superficie también será la mitad, pero junto con eso, también se ve una base en forma de círculo que también está incluida en el área de la superficie del hemisferio.
Por lo tanto, el área de la superficie de un hemisferio = 2πr 2 +πr 2
= 3πr 2
Volumen de un hemisferio
El volumen del hemisferio será la mitad del volumen de la esfera.
Volumen del hemisferio =
Prisma
Un prisma es una figura tridimensional que tiene dos bases enfrentadas, estas bases pueden tener la forma de un triángulo, un rectángulo o cualquier polígono. El material del prisma es principalmente fluorita, vidrio, plástico.
La base del prisma puede ser regular o irregular, si la base es irregular, se llama prisma irregular. Si la base del prisma es regular, el prisma es un prisma regular.
Superficie del prisma
Veamos el área de la superficie del prisma triangular,
Superficie del prisma= 2(área de las bases triangulares) + (área del rectángulo de base b y longitud l) +2(área del rectángulo de lado s y longitud l).
Área de superficie del prisma = 2(1/2 ×b× h) +2(s× l) +(b×l)
= (b×h) + 2(s×l) + (l×b)
del prisma
El volumen del prisma es el área del cuadrado multiplicada por la altura/longitud del prisma,
Volumen de prisma = 1/2 bhl
Veamos algunos ejemplos de problemas sobre estos conceptos.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Encuentra el volumen y el área de superficie de un cubo cuyo lado es a = 10 cm.
Solución:
Conocemos las fórmulas de áreas superficiales y volumen.
Área de superficie = 6a 2
= 6(10) 2 {Dado a = 10cm}
= 6 (100)
= 600cm2
Volumen del cubo = a 3
= (10) 3
= 1000cm3
Pregunta 2: Encuentra el volumen y el área de superficie del tanque de agua que tiene la forma de un cilindro con un radio de 10 m y una altura de 40 m.
Solución:
Conocemos las fórmulas de las áreas superficiales y el volumen del cilindro.
r = 10 y h = 40.
Área de superficie del cilindro = Área de superficie curva + Área de bases
volumen del cilindro,
Pregunta 3: Encuentra el volumen y el área de superficie de un cono de helado cuyo radio es de 3 cm y la altura es de 4 cm.
Solución:
Un cono de helado es básicamente un cono. Necesitamos encontrar el área y el volumen de ese cono. Como el cono no está cerrado desde arriba, solo necesitamos encontrar el área de la superficie curva.
Área de superficie del cono,
Volumen del cono,
Pregunta 4: Encuentra el volumen y el área de la superficie de la esfera cuyo radio es de 10 cm.
Solución:
Dado r = 10cm.
Área de superficie
Volumen
Pregunta 5: Encuentra el área de la superficie del hemisferio con un radio de 7 cm, también encuentra el volumen.
Solución:
Superficie del hemisferio =
= 3× 22/7× (7×7)
= 462cm2
Volumen del hemisferio
= 1437,333 cm 3
Pregunta 6: Encuentra el área de la superficie de un prisma triangular mencionado en la siguiente figura,
Solución:
Área de superficie del prisma = (b×h) + 2(l×s)+ (l×b)
= (5×5)+ 2(7×10) +(5×10)
= 25+ 140+ 50
= 75+ 140
= 215 cm 2
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA