La geometría de coordenadas se define como el estudio de la geometría utilizando los puntos de coordenadas en el plano con cualquier dimensión. Usando la geometría de coordenadas, es posible encontrar la distancia entre dos puntos, dividir líneas en una proporción, encontrar el punto medio de una línea, calcular el área de un triángulo en el plano cartesiano, etc.
Hay varios métodos para encontrar el área del triángulo de acuerdo con los parámetros dados, como la base y la altura del triángulo, las coordenadas de los vértices, la longitud de los lados, etc. A continuación se presentan 3 de estos métodos para encontrar el área de un triángulo. .
Método 1: usar la base y la altura del triángulo
Cuando se den la base y la altura del triángulo, usaremos este método y este método es el más simple de todos los métodos. Para un triángulo dado, si la altura de un triángulo es ‘ h ‘ y la base del triángulo es ‘ b ‘, entonces el área de un triángulo se da como:
Derivación de la fórmula
Paso 1: Considere el triángulo rectángulo ABC.
Paso 2: Ahora dibuja una línea horizontal desde el punto A y una línea vertical desde el punto C. Deja que el punto sea D donde ambas líneas se encuentran.
Paso 3: La figura se verá como un rectángulo, es decir, si agregamos 2 triángulos similares, se genera un rectángulo.
Paso 4: Como requerimos el área del triángulo ABC, podemos escribirlo como (área del rectángulo ABCD / 2).
Paso 5: Continuando con el paso 4:
=> Área de ABC = (área del rectángulo ABCD / 2)
=> Área de ABC = (b × h) / 2
Por lo tanto, se demostró que el área del triángulo es (1/2) × b × h
Ejemplos de problemas sobre la fórmula
Ejemplo 1: ¿Encontrar el área del triángulo cuya altura y base son 6 cm y 5 cm?
Solución: En la pregunta se menciona claramente que la altura y la base son:
Dado, h = 6 y b = 5
El área del triángulo se da como = (1/2) × b × h
=> (1 / 2) × 6 × 5
=> 3 × 5 = 15
Por lo tanto, el área del triángulo dado es de 15 cm 2
Ejemplo 2: ¿ Encontrar la altura del triángulo cuya área es de 12 cm 2 y la base es de 6 cm?
Solución:
Dado, área = 12 y b = 6
El área del triángulo es = (1 / 2) × b × h
=> 12 = (1 / 2) × 6 × altura
=> h = 12 / 3 = 4
Por lo tanto, la altura del triángulo dado es de 4 cm.
Método 2: usando la fórmula de Heron
Cuando no se dan ni la base ni la altura del triángulo, podemos usar la fórmula de Heron si se dan los lados del triángulo.
Si a, b, c son lados del triángulo, entonces el área del triángulo se da como:
Derivación de la fórmula
Paso 1: Como sabemos semi perímetro s = (a + b + c) / 2
=> 2s = a + b + c
=> 2s – 2a = a + b + c – 2a [restando ambos lados 2a]
=> 2(s – a) = b + c – a —————1
Similarmente,
=> 2(s – b) = c + a – b —————2
=> 2(s – c) = a + b – c —————3
Usaremos estas relaciones más adelante en la derivación.
Paso 2: Ahora, tomemos un triángulo escaleno de lados a, b, c
Paso 3: Como no tenemos la altura ni la altura del triángulo, trazamos una perpendicular desde A sobre BC en D y la base será ‘a’.
Paso 4: Ahora si observamos claramente se forman dos triángulos que son ABD y ADC . Y si la longitud de BD es d, entonces la longitud de DC será a – d.
Paso 5: Ahora en el triángulo ABD, por el teorema de Pitágoras
=> h 2 = do 2 – re 2 ——————–4
Del mismo modo en ADC
=> h 2 = segundo 2 – (a – d) 2
De la ecuación 4 valor sustitutivo de h 2
=> do 2 – re 2 = segundo 2 – (a – re) 2
=> do 2 – re 2 = segundo 2 – (un 2 + re 2 – 2ad)
Después de la simplificación de la ecuación obtenemos,
re = (do 2 + un 2 + segundo 2 ) / 2a
Ahora sustituya el valor anterior en la ecuación 4
=> h 2 = do 2 – [(do 2 + un 2 + segundo 2 ) / 2a] 2
=> h 2 = (c – {(c 2 + a 2 + b 2 ) / 2a})(c + {(c 2 + a 2 + b 2 ) / 2a}) porque [a 2 – b 2 = ( a+b)(a-b)]
=> h 2 = (1 / 4a 2 )[ segundo 2 – (a – c) 2 ][(a + c) 2 – segundo 2 ]
=> h 2 = (1 / 4a 2 )[(b – a + c)(b + a – c)(a + c – b)(a + b + c)] porque [a 2 – b 2 = ( a+b)(a-b)]
De la ecuación 1, 2 y 3 sustituye a la ecuación anterior
=> h 2 = (1 / 4a 2 ) [2(s – a) × 2(s – b) × 2(s – c) × 2s]
=> h 2 = (4 / a 2 ) [s(s – a)(s – b)(s – c)]
=> h = (2 / a) √[s(s – a)(s – b)(s – c)] ————–5
Paso 6: Del método 1 sabemos que si se dan la base y la altura del triángulo, entonces el área del triángulo es (base × altura) / 2. Ahora sustituya la altura en esta fórmula
=> área de ABC = (1 / 2) × a × (2 / a) √[s(s – a)(s – b)(s – c)]
Después de la simplificación
=> área de ABC = √[s(s – a)(s – b)(s – c)]
Por tanto, queda demostrada la fórmula de la garza para el área del triángulo.
Ejemplos de problemas sobre la fórmula de Heron
Ejemplo 1: si los lados del triángulo miden 3 cm, 4 cm y 5 cm, encuentra el área del triángulo.
Solución:
Sean a = 3, b = 4 y c = 5
Primero, tenemos que encontrar el semiperímetro.
=> s = (a + b + c) / 2
=> s = (3 + 4 + 5) / 2
=> s = 12 / 2 = 6
Como sabemos, la fórmula de Heron es √[s(s – a)(s – b)(s – c)], por lo que sustituyendo valores en ella
=> √[s(s – a)(s – b)(s – c)]
=> √[6(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5)]
=> √[6 × 3 × 2 × 1]
=> √36 = 6
el area del triangulo es 6 cm2
Ejemplo 2: usando la fórmula de Heron, obtenga la fórmula para encontrar el área del triángulo equilátero cuyo lado es un
Solución:
Para encontrar el semiperímetro
=> s = (a + b + c) / 2
=> s = (un + un + un ) / 2
=> s = 3a / 2
Ahora usando la fórmula de garza
=> √[s(s – a)(s – b)(s – c)]
=> √[(3a / 2)((3a / 2) – a)((3a / 2) – a)((3a / 2) – a)]
=> √[(3a / 2)(a / 2)(a / 2)(a / 2)]
=> √(3a 4 / 16)
=> √3(un 2 ) / 4
Por lo tanto, el área de un triángulo equilátero es √3(a 2 ) / 4
Método 3: Uso de coordenadas de los vértices
En los métodos anteriores, hemos visto diferentes condiciones, en el método 3 si se dan las coordenadas del triángulo, veremos cómo encontrar el área del triángulo.
Si las coordenadas del triángulo son (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3), entonces el área del triángulo está dada por
Derivación de la fórmula
Paso 1: Dibuja las perpendiculares desde las coordenadas P, Q y R al eje X en A, B y C respectivamente.
Paso 2: ahora, si observamos la figura con atención, se forman tres trapecios diferentes, como PQAB, PBCR y QACR, en el plano de coordenadas.
Paso 3: Entonces el área de ∆QPR se calcula como
Área de ∆PQR = [Área del trapecio PQAB + Área del trapecio PBCR] – [Área del trapecio QACR] —-(1)
Paso 4: ahora calculamos las áreas de los 3 trapecios.
Dado que Área de un trapecio = (1/2) (suma de los lados paralelos) × (distancia entre lados)
Encontrar el área de un trapecio PQAB
=> Área del trapecio PQAB = (1 / 2)(QA + PB) × AB
=> QA = y2
=> PB = y1
=> AB = OB – OA = x1 – x2
=> Área del trapecio PQAB = (1 / 2)(y1 + y2)(x1 – x2 ) —-(2)
Encontrar el área de un trapecio PBCR
=>Área del trapecio PBCR =(1 / 2) (PB + CR) × BC
=>PB = y1
=>CR = y3
=>BC = OC – OB = x3 – x1
=>Área del trapecio PBCR =(1 / 2) (y1 + y3 )(x3 – x1) —-(3)
Encontrar el área de un trapecio QACR
=>Área del trapecio QACR = (1 / 2) (QA + CR) × AC
=>QA = y2
=>CR = y3
=>AC = OC – OA = x3 – x2
=>Área del trapecio QACR =(1 / 2)(y2 + y3 ) (x3 – x2 )—-(4)
Paso 5: Sustituyendo (2), (3) y (4) en (1),
=> Área de ∆PQR = (1 / 2)[(y1 + y2)(x1 – x2 ) + (y1 + y3 )(x3 – x1) – (y2 + y3 ) (x3 – x2 )]
=> Área de ∆PQR = (1 / 2) |[x1 (y2 – y3 ) + x2 (y3 – y1 ) + x3(y1 – y2)]|
Por lo tanto, esta es la fórmula para encontrar el área del triángulo si se dan las coordenadas.
Nota: Observe que hay un mod, que indica que, si obtuvimos un valor negativo, solo debemos considerar el valor numérico ya que el área no puede ser negativa.
Ejemplos de problemas sobre la fórmula
Ejemplo 1: ¿Cuál es el área del ∆ABC cuyos vértices son A(1, 2), B(4, 2) y C(3, 5)?
Solución:
En primer lugar, dibujemos un diagrama para una mejor comprensión.
Ahora comparando las coordenadas dadas con (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3).
Sea, (x1, y1) = (1, 2)
=> (x2, y2) = (4, 2)
=> (x3, y3) = (3, 5)
Ahora tenemos que sustituir los valores en (1 / 2) [x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y1) + x3(y1 – y2)]
=> (1 / 2) [1 (2 – 5 ) + 4 (5 – 2 ) + 3(2 – 2)]
=> (1 / 2) [(- 3) + 12 + 0]
=> (1 / 2) [9] = 4,5
Por lo tanto, el área del triángulo es de 4,5 unidades cuadradas.
Ejemplo 2: ¿Cuál es el valor de x1 cuya área de un triángulo es 1 de coordenadas (x1, 1), (2, 3) y (4, 5)?
Solución:
En primer lugar, dibujemos un diagrama para una mejor comprensión.
En este problema, tenemos que encontrar el valor de ‘x1’, que es la coordenada X del punto A.
Se sabe que el área del triángulo es 1.
Ahora comparando las coordenadas dadas con (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3).
Sea, (x1, y1) = (x1, 1)
=> (x2, y2) = (2, 3)
=> (x3, y3) = (4, 5)
Ahora tenemos que sustituir los valores en (1 / 2) [x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y1) + x3(y1 – y2)]
=> (1 / 2) [x1(3 – 5 ) + 2(5 – 1 ) + 4(1 – 3)] = 1
=> (1 / 2) [x1(- 2) + 8 + -8] = 1
=> -x1 = 1
=> x1 = ±1 unidades cuadradas.
Por lo tanto, el valor de x1 puede ser tanto -1 como 1
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Artículo escrito por dadimadhav y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA