Aritmética GRE – Números reales

El conjunto de los Números Reales está formado por todos los Números Racionales y todos los números irracionales. Los números reales incluyen todos los enteros, fracciones y decimales. El conjunto de números reales se puede representar mediante una recta numérica llamada recta numérica real. Cada número real corresponde a un punto en la recta numérica, y cada punto en la recta numérica corresponde a un número real. Todos los números a la izquierda del 0 en la recta numérica son negativos. De manera similar, todos los números a la derecha del 0 en la recta numérica son positivos. 

Un número real m es menor que un número real n si m está a la izquierda de n en la recta numérica que se escribe como m < n. ejemplo:
 

Example 1: 1/2 > 0
Example 2: 3 < -1
Example 3: 2 < 0 < 2

Valor absoluto: La distancia entre el número x y el 0 en la recta numérica se denomina valor absoluto de x, escrito como |x|. Por lo tanto, |3|=3 y |-3|=3 porque cada uno de los números 3 y -3 está a una distancia de 3 de 0. Tenga en cuenta que si x es positivo, entonces |x|=x, si x es negativo, luego |x|=-x, y por último, |0|=0. De ello se deduce que el valor absoluto de cualquier número distinto de cero es positivo. He aquí algunos ejemplos: 
 

Example 1: |5| = 5
Example 2: -|-23| = 23
Example 3: -|-10.2| = 10.

Propiedades de los Números Reales

Aquí hay doce propiedades generales de los números reales que se usan con frecuencia. En cada propiedad r, s y t son números reales. 

Propiedad 1 : propiedad conmutativa

Suma: r + s = s + r

Multiplicación: r∗s = s∗r 

Ejemplo: 

8 + 2 = 2 + 8 = 10
(-3)(17) = (17)(-3) = -51

Propiedad 2 : propiedad asociativa

Adición: (r+s) + t = r + (s+t) 

Multiplicación: (r∗s)∗t = r∗(s∗t) 

Ejemplo:

( 7 + 3 ) + 8 = 7 + ( 3 + 8 ) = 18
( 7∗2 )∗4 = 7∗( 2∗4 ) = 56

Propiedad 3 : Propiedad Distributiva

r( s+t ) = rs + rt 

Ejemplo:

5( 3 + 16 ) = 5(3) + 5(16) = 15 + 80 = 95

Propiedad 4 : Propiedad de identidad

Suma: r+0=r

Multiplicación: r∗1 = r

Propiedad 5 :

Si r∗s = 0, entonces r=0 o s=0 o ambos. 

If -2∗s = 0, then s = 0

Propiedad 6 : La división por 0 no está definida . 

5/0 = undefined 
0/0 = undefined

Propiedad 7 : si tanto r como s son positivos, entonces tanto r+s como r∗s son positivos. 

Propiedad 8 : Si tanto r como s son negativos, entonces r+s son negativos y r∗s es positivo. 

Propiedad 9 : Si r es positivo y s es negativo, entonces r∗s es negativo. 

Propiedad 10 : |r+s| ≤ |r| + |s|. Esto se conoce como desigualdad triangular . 
 

If r = 5 and s = -2 then
| 5 + (-2) | = | 5 - 2 | = |3| = 3 and
                 |5| + |-2| = 5 + 2 = 7. Therefore,
                 | 5 + (-2) | <= |5| + |-2|

Propiedad 11 : |r||s| = |rs| 

|5||-2| = | (5)(-2) | = |-10| = 10 

Propiedad 12 : Si r>1, entonces r ² > r. Si 0<s<1, entonces s ² <s 

52 = 25 > 5, but
(1/5)2 = 1/25 < 1/5