Arrays elementales | Matemáticas discretas

Prerrequisito: conocimiento de arrays y array de identidad

Introducción:
una array es una colección de números ordenados fila por fila y columna por columna. Los elementos de una array deben estar encerrados entre paréntesis o corchetes.
Ejemplo: 
 la array 3 * 3 significa una array con 3 filas y 3 columnas con un total de 9 elementos. (3*3 = 9)

Array de identidad: 
una array de identidad es una array cuadrada en la que todos los miembros de la diagonal mayor o principal son 1 y todos los demás elementos son ceros.

Array elemental:
una array elemental es aquella que se puede crear a partir de una array de identidad ejecutando solo una de las siguientes operaciones en ella:

• R1: se intercambian 2 filas.
• R2: multiplica el elemento de una fila por un número real distinto de cero.
• R3: suma de cualquier múltiplo de los elementos correspondientes de otra fila a los elementos de una fila.

R1, R2 y R3 son operaciones de fila y, cuando se aplican a cualquier array, se denominan operaciones elementales de fila.

• C1: se intercambian 2 columnas.
• C2: multiplica el elemento de una columna por un número real distinto de cero.
• C3 -Sumar cualquier múltiplo de los elementos correspondientes de otra columna a los elementos de una columna.

 C1, C2 y C3 son las operaciones de columna, y cuando se aplican a cualquier array, se denominan operaciones de columna elementales.
Como sabemos que una array identidad es siempre cuadrada, la array elemental es siempre un cuadrado ya que se obtiene de una array identidad.

Ejemplo: 
la array dada M es elemental: 

Explicación – 
Como sabemos, la array identidad de 3 * 3 : I ₃ se da como –

Aplicando C1 – Intercambiando columna 1 y columna 3 en I ₃ , podemos obtener la array M. Entonces M es una Array elemental.

Propiedades de una array elemental: 

• La no singularidad de las arrays elementales es evidente. Además, la inversa de una array elemental también es una array elemental.
• Si una array cuadrada A puede expresarse como el producto de arrays elementales, es invertible.
• Si A es una array n*n, A puede escribirse como el producto de arrays elementales.
• Una array elemental es siempre una array cuadrada.
• Si la array elemental E se obtiene al ejecutar una operación de fila específica en I _m y A es una array am*n, el producto EA es la array que se obtiene al realizar la misma operación de fila en A.

1. La array M dada, encuentra si es elemental o no.

Solución:
Como la array no es una array cuadrada, no puede ser una array elemental.

2. La array M dada, encontrar si es elemental o no.

Solución: 
La array identidad de tamaño 2 * 2 se muestra como:

Si multiplicamos la segunda fila de I2 por -3, obtendremos como resultado M. Entonces, M es una array elemental.
 

3. La array M dada, encontrar si es elemental o no.

Solución:
la array identidad de tamaño 3 * 3 se muestra como:

Si remamos Realizar operación en I ₃ : R1 = R1 * 6, obtendremos –

Pero ahora esta array resultante no es igual a M.
Por lo tanto, no podemos realizar ninguna operación única de fila/columna de tal manera que obtengamos la Array M dada de I3.
Entonces M no es una array elemental.