Valores propios y vectores propios en MATLAB

Los valores propios y los vectores propios son propiedades de una array cuadrada.

Sea  una array N*N , X sea un vector de tamaño N*1 y   sea un escalar .

Entonces los valores X,   que satisfacen la ecuación,     son vectores propios y valores propios de la array A respectivamente.

• Una array de tamaño N*N posee N valores propios
• Todo valor propio corresponde a un vector propio.

Matlab permite a los usuarios encontrar valores propios y vectores propios de array usando el método eig() . Las diferentes sintaxis del método eig() son:

• e = eig(A)
• [V,D] = eig(A)
• [V,D,W] = eig(A)
• e = eig(A,B)

Analicemos las sintaxis anteriores en detalle:

e = eig(A)

• Devuelve el vector de valores propios de la array cuadrada A .

% Square matrix of size 3*3
A = [0 1 2;
    1 0 -1;
    2 -1 0];
disp("Matrix");
disp(A);
  
% Eigenvalues of matrix A
e = eig(A);
disp("Eigenvalues");
disp(e);

Producción :

[V,D] = eig(A)

• Devuelve la array diagonal D que tiene diagonales como valores propios.
• También devuelve la array de vectores derechos como V .
• Los vectores propios normales se denominan vectores propios derechos .
• V es una colección de N vectores propios de cada tamaño N*1 (A es de tamaño N*N) que satisface A*V = V*D

% Square matrix of size 3*3
A = [8 -6 2;
    -6 7 -4;
    2 -4 3];
disp("Matrix");
disp(A);
  
% Eigenvalues and right eigenvectors of matrix A
[V,D] = eig(A);
disp("Diagonal matrix of Eigenvalues");
disp(D);
disp("Right eigenvectors")
disp(V);

Producción :

[V,D,W] = eig(A)

• Junto con la array diagonal de valores propios D y vectores propios derechos V , también devuelve los vectores propios izquierdos de la array A.
• Un vector propio izquierdo u es una array de 1*N que satisface la ecuación u*A = k*u , donde k es un valor propio izquierdo de la array A.
• W es la colección de N vectores propios izquierdos de A que satisface W’*A = D*W’ .

% Square matrix of size 3*3
A = [10 -6 2;
    -6 7 -4;
     2 -4 3];
disp("Matrix :");
disp(A);
  
% Eigenvalues and right and left eigenvectors 
% of matrix A
[V,D,W] = eig(A);
disp("Diagonal matrix of Eigenvalues :");
disp(D);
disp("Right eigenvectors :")
disp(V);
disp("Left eigenvectors :")
disp(W);

Producción :

e = eig(A,B)

• Devuelve los valores propios generalizados de dos arrays cuadradas A y B del mismo tamaño.
• Un valor propio generalizado λ y un vector propio correspondiente v satisfacen Av=λBv .

% Square matrix A and B of size 3*3
A = [10 -6 2;
    -6 7 -4;
     2 -4 3];
B = [8 6 1;
     6 17 2;
    -1 4 3];
      
disp("Matrix A:");
disp(A);
disp("Matrix B:");
disp(B);
  
% Generalized eigen values 
% of matrices A and B
e = eig(A,B);
disp("Generalized eigenvalues :")
disp(e);

Producción :