Axiomas de Peano | Sistema Numérico | Matemáticas discretas

Introducción:
A continuación se define axiomáticamente el conjunto de los números naturales. A G. Peano, un matemático italiano, y a JWR Dedekind, un matemático alemán, se les atribuyen estos axiomas. El propósito de estos axiomas es probar la existencia de un número natural antes de definir una función para crear los números naturales restantes, conocida como función sucesora.

Axiomas de Peano:
una premisa o punto de partida para un mayor razonamiento y argumentación es un axioma, postulado o suposición, que es una declaración que se supone que es verdadera. Los axiomas desarrollados por G.Peano son:

1. P1. 0 ∈ norte; 0 es un número natural:
   el axioma 5 en realidad reemplaza 0 con 1 en diferentes versiones de los axiomas de Peano. Esto produce un conjunto casi idéntico de números naturales, conocidos como «números enteros positivos». El contexto determina si un matemático incluye o no el 0 en los números naturales. Seguimos la práctica estándar de incluir 0 como un número natural.
   Solo la existencia de un solo número natural, 0, está garantizada en este punto. La función sucesora se usa en el siguiente axioma para construir otros números naturales. La función sucesora es una función S con el dominio N, como su nombre lo indica. El codominio de S también es N, según el siguiente axioma.
   Los siguientes tres axiomas describen la relación de igualdad .
2. ∀x ∈ norte ⇒ x=x ; 
   Igualdad reflexiva. El cuarto axioma, conocido como el axioma de cierre de la igualdad, establece que si “cualquier cosa” es igual a un número natural, entonces esa “cualquier cosa” también debe ser un número natural.
3. ∀ x, y ∈ norte; y si x=y ⇒ y=x ; 
   Igualdad simétrica. Si un número natural es igual a otro, el segundo número debe ser igual al primero. Esto se conoce como el axioma de simetría.
4. ∀ x, y, z ∈ norte; y si x=y & y = z ⇒ x=z; 
   Igualdad transitiva. La siguiente propiedad establece que si un número natural es igual a un segundo y el segundo número natural es igual a un tercero, entonces el primero y el tercero son iguales. El axioma de transitividad es como se llama.
5. ∀ a, b ; si a ∈ N ya=b ⇒ b también es un número natural.
6. P2. Si x ∈ N  ⇒ S(x) ∈ N. 
   En los axiomas iniciales de Peano, se empleaba el 1 en lugar del 0 como el “primer” número natural. 
   Las formulaciones más recientes de los axiomas de Peano comienzan con 0. Esto se debe a que 0 es la identidad aditiva en aritmética. 
   El sucesor de x es también un número natural, si x es un número natural. 
   S(x) se denominará sucesor de x, como indica el axioma. 
   Intuitivamente, S(x) debe interpretarse como x+1 .
    Todavía estamos muy lejos de tener los números naturales tal como los conocemos en este momento. Los axiomas 1 y 6 definen una representación unaria de números naturales: 
   S(0) = 0 +1 = 1
   S(S(0)) = S(1) = 1+1 = 2 .
   Los atributos de esta representación están definidos por los siguientes dos axiomas.
7. Si n ∈ N ; S(n) ≠ 0 . 
   Si n ∈ N, entonces el sucesor de n no puede ser 0.
8. ∀ a, b ∈ N; si S(a) = S(b) ⇒ a = b.  
   S es una inyección (asignación uno a uno, es decir, el sucesor de cada número es único)
   El axioma anterior tiene algunas implicaciones significativas. Del axioma 1, descarta la opción de definir N simplemente como 0 y 1. 
   Para entender por qué, considere que S(0) = 1 ya existe y que S(1) = 1 no es posible debido al mapeo de inyección.
   La posibilidad de S(1) = 0 está descartada por el Axioma 6. Como resultado, S(1) debe ser otro número natural, al que llamamos 2. 
   Así: 2 = S(1) .
   S(2) no puede ser 0, 1 o 2 según un razonamiento similar. 
   Como resultado, debe ser un número natural diferente, al que nos referiremos como 3. Siguiendo este patrón, podemos deducir que N debe contener todos los números naturales que conocemos. En este punto, sabemos que N debe contener 0 y que su sucesor 1 = S(0), su sucesor 2 = S(1), y así sucesivamente. Por lo tanto, cada número tiene un único sucesor. 
   Entonces, si decimos que los 2 sucesores son iguales, entonces implica que son los sucesores del mismo número.
9. Si V es un conjunto inductivo; es decir ; 0 ∈ V y todo número natural n ∈ V, entonces S(n) ∈ V ⇒ N ⊂ V
   Como se estableció anteriormente, los primeros ocho axiomas garantizan que { 0, 1, 2, 3,… } ∈ N. Sabemos que el set { 0, 1, 2, 3,… } es un conjunto inductivo. Como resultado del Axioma 9, N ⊂ { 0, 1, 2, 3,…} debe ser cierto. Como resultado, obtuvimos la igualdad de conjuntos que buscábamos: N = { 0, 1, 2, 3,…}