Axiomas del álgebra booleana

En este artículo, vamos a discutir los axiomas del álgebra booleana; estos axiomas/teoremas son importantes ya que se utilizarán en muchos temas diferentes de la electrónica digital, como el diseño de circuitos secuenciales y el diseño de circuitos combinacionales. Estos axiomas son los componentes básicos de la electrónica digital. Así que entiende estos axiomas cuidadosamente. Ahora veremos estos axiomas uno por uno.

Axioma

Los conjuntos de expresiones lógicas se conocen como Axiomas o postulados del Álgebra de Boole. Un axioma no es más que la definición de tres operaciones lógicas básicas (Y, O y NO).

Aquí,

• + denota la operación lógica OR
• . denota la operación  lógica AND
• ! denota la operación  Lógica NOT
• 0 y 1 denota el Falso Lógico y el Verdadero respectivamente
  • 0,0 = 0
  • 0,1 = 0
  • 1,0 = 0
  • 1.1 = 1
  • 0+0 = 0
  • 0+1 = 1
  • 1+0 = 1
  • 1+1 = 1
  • ! 0 = 1
  • ! 1 = 0

Ahora, como hemos discutido los axiomas básicos del álgebra booleana, intentemos generalizarlos:

• 0.A = 0 (Si A = 0, entonces 0.0 = 0 y cuando A=1, 0.1 = 0, por lo tanto, la expresión siempre será 0 independientemente del valor de A)
• 1+A =1 (Si A = 0, entonces 1+0 =1 y cuando A=1, 1+1 =1, por lo tanto, la expresión siempre será 1 independientemente del valor de A)
• 0+A = A (Si A = 0, entonces 0+0 = 0 y cuando A=1, 0+1=1. Por lo tanto, la expresión siempre será igual al valor de A)
• 1.A = A (Si A = 0 entonces 1.0 = 0 y cuando A=1, 1.1=1. Por lo tanto, la expresión siempre será igual al valor de A)
• !A = A (Si !A = 0 entonces A = 1 y !A = 1 entonces A = 0)
• A+A = A (Si A = 0 entonces 0+0 = 0 y cuando A =1 entonces 1+1 = 1)
• AA = A (Si A = 0 entonces 0.0 = 0 y cuando A = 1 entonces 1.1 = 1)

Estas expresiones generalizadas son muy importantes ya que se utilizan para simplificar muchas funciones y expresiones booleanas. Minimizar la función booleana es útil para eliminar variables y minimizar el nivel de puerta.  

Comparación del álgebra booleana con el álgebra aritmética:

• En álgebra aritmética , tenemos cuatro operaciones básicas que son suma, resta, multiplicación y división. Mientras que en el álgebra booleana tenemos tres operaciones básicas que son AND, OR, NOT.
• En el álgebra booleana , solo tenemos dos tipos de valores/resultados finales que son verdaderos o falsos. Pero en el álgebra aritmética, la respuesta puede tener cualquier valor, puede ser positivo, negativo, cero o cualquier valor en el que podamos pensar.

Postulados/Leyes del Álgebra Booleana:

1. Ley Conmutativa:

• A+B = B+A
• AB = AB  

Por ejemplo:

0 + 1 = 1 and 1 + 0 = 1 (that is A+B = B+A)
0.1 = 0 and 1.0 = 0 (that is A.B = B.A)

2. Ley asociativa:

• (A+B)+C = A+(B+C)
• (AB).C = A.(BC) 

Por ejemplo:

(0 + 1)+1 = 0 + (1+1) =1 (that it (A+B)+C = A+(B+C)
Similarly you can try for (A.B).C = A.(B.C)

3. Ley distributiva:

• A(B+C) = AB + AC
• A + BC = (A+B). (A+C)

Prueba de A +BC = (A+B).(A+C)

Intentemos simplificar RHS de la expresión:

(A+B).(A+C) = A.A + A.C + B.A + B.C 
We know that A.A = A  and B.A = A.B so the expression becomes:
A + AC + A.B + B.C

Simplificando aún más A.(1+C) + AB + BC, ahora 1+C = 1 también, A.1 = A, por lo que la expresión se convierte en:

A +  A.B + B.C 
A(1+B) + B.C = A.1 + B.C = A + BC (1+B = 1 and A.1 = 1 )
Hence LHS = RHS  

4. Ley de Idempotencia:

• A+A=A
• AA = A

Estas leyes fueron discutidas anteriormente 

5. Ley de Absorción:

• A + AB = A
• A.(A+B) = A

Simplifiquemos el lado izquierdo de ambas expresiones para obtener el lado derecho:

A + A.B = A(1+B) = A.1 = A
A.(A+B) = A.A + A.B 
A + A.B = A(1+B) 
A.1 = A