CBSE Clase 9 Fórmulas Matemáticas

GeeksforGeeks presenta Fórmulas de capítulos de Matemáticas para la Clase 9. Esto está diseñado para la comodidad de los estudiantes, de modo que uno pueda comprender todos los conceptos importantes de las Matemáticas de la Clase 9 de forma directa y sencilla. Aquí se ofrecen fórmulas matemáticas para la Clase 9 para los estudiantes que encuentran que el tema de las matemáticas es una pesadilla y difícil de entender. Pueden volverse vacilantes y perder interés en los estudios como resultado de esto. Como resultado, GeeksforGeeks mencionó todas las fórmulas clave para el programa de estudios estándar de Matemáticas de noveno grado, que los estudiantes pueden simplemente recordar, para ayudarlos a comprender las matemáticas de una manera sencilla. Para todos los cursos como Álgebra , Geometría , Polinomios, y así sucesivamente, las fórmulas se proporcionan aquí de acuerdo con el plan de estudios NCERT.

Maths-Chapterwise-Formulas-Class-9

Capítulo 1: Sistemas Numéricos

El sistema numeral o numérico es la combinación de números naturales , enteros, racionales , irracionales y reales . Esta lección cubre los conceptos completos del sistema numérico y sus tipos, la representación en la recta numérica , las leyes de los exponentes racionales y las potencias integrales. Cualquier número que se pueda expresar como p ⁄ q, siendo p y q números enteros y q ≠ 0 números racionales . La forma p ⁄ q no se puede usar para escribir números irracionales.

Cualquier número real único se puede representar en una recta numérica .

Si r es uno de esos números racionales y s es un número irracional, entonces (r + s), (r – s), (r × s) y (r ⁄ s) son irracionales .

Las siguientes reglas deben cumplirse para números reales positivos:

√ab = √a × √b

√(a/b)= √a/√b

(√a + √b) × (√a – √b) = a−b

(a + √b) × (a − √b) = a ² −b

(√a+√b) ² =a ² + 2√ab +b

Para racionalizar el denominador de 1 ⁄ √ (a + b), entonces hay que multiplicarlo por √(a – b) ⁄ √(a – b), donde a y b son ambos números enteros.

Supongamos que a es un número real (mayor que 0) y p y q son los números racionales.

a ^p × b ^q = (ab) ^p+q

(a ^p ) ^q = a ^pq

a ^p / a ^q = (a) ^pq

a ^p / b ^p = (ab) ^p

Capítulo 2: Polinomios

Polinomio es una expresión que comprende variables y coeficientes que involucra operaciones como suma, resta, multiplicación y exponenciación de variables enteras no negativas. Un polinomio p(x) denotado por una variable ‘x’ comprende una expresión algebraica en la forma:

p(x) = un _n x ⁿ + un _n-1 x ^n-1 + ….. + un ₂ x ² + un ₁ x + un ₀

donde a ₀ , a ₁ , a ₂ , …. a _n son constantes donde a _n ≠ 0

Cualquier número real ; digamos que ‘a’ se considera el cero de un polinomio ‘p(x)’ si p(a) = 0. En este caso, se dice que a es la ecuación p(x) = 0.

Cada polinomio lineal variable contendrá un cero único, un número real que es un cero del polinomio cero y un polinomio constante distinto de cero que no tiene ceros.

Teorema del resto : si p(x) tiene un grado mayor o igual a 1 y p(x) cuando se divide por el polinomio lineal x – a dará el resto como p(a).

Teorema del factor: x – a será el factor del polinomio p(x), siempre que p(a) = 0. Lo contrario también se cumple siempre.

Capítulo 3: Geometría de coordenadas

La geometría de coordenadas es una parte de la geometría donde la posición de los puntos en el plano se describe con la ayuda de un par ordenado de números llamados coordenadas.

Geometría de coordenadas: Cuadrantes

Siempre que tenga que ubicar un objeto en un plano, necesita dos dividir el plano en dos líneas perpendiculares, convirtiéndolo así en un plano cartesiano .

La línea horizontal se conoce como eje x y la línea vertical se llama eje y.

Las coordenadas de un punto tienen la forma de (+, +) en el primer cuadrante, (–, +) en el segundo cuadrante, (–, –) en el tercer cuadrante y (+, –) en el cuarto cuadrante. ; donde + y – denotan el número real positivo y negativo respectivamente.

Las coordenadas del origen son (0, 0) y por lo tanto se levanta para moverse en los números positivos y negativos.

Capítulo 4: Ecuaciones lineales en dos variables

Cualquier ecuación que se pueda definir en la forma ax + by + c = 0, donde a, b y c son números reales, y a y b no son cero, se llama ecuación lineal en dos variables . A continuación se presentan las identidades algebraicas que se consideran fórmulas matemáticas muy importantes para la Clase 9.

(a + b) ² = a ² + 2ab + b ²

(a – b) ² = a ² – 2ab + b ²

(a + b) (a – b) = a ² -b ²

(x + a) (x + b) = x ² + (a + b) x + ab

(x + a) (x – b) = x ² + (a – b) x – ab

(x – a) (x + b) = x ² + (b – a) x – ab

(x – a) (x – b) = x ² – (a + b) x + ab

(a + b) ³ = a ³ + b ³ + 3ab (a + b)

(a – b) ³ = a ³ – b ³ – 3ab (a – b)

(x + y + z) ² = x ² + y ² + z ² + 2xy +2yz + 2xz

(x + y – z) ² = x ² + y ² + z ² + 2xy – 2yz – 2xz

(x – y + z) ² = x ² + y ² + z ² – 2xy – 2yz + 2xz

(x – y – z) ² = x ² + y ² + z ² – 2xy + 2yz – 2xz

x ³ + y ³ + z ³ – 3xyz = (x + y + z) (x ² + y ² + z ² – xy – yz -xz)

x ² + y ² = 1212 [(x + y) ² + (x – y) ² ]

(x + a) (x + b) (x + c) = x ³ + (a + b + c)x ² + (ab + bc + ca)x + abc

x ³ + y ³ = (x + y) (x ² – xy + y ² )

x ³ – y ³ = (x – y) (x ² + xy + y ² )

x ² + y ² + z ² – xy – yz – zx = 1212 [(x – y) ² + (y – z) ² + (z – x) ² ]

Capítulo 5: Introducción a la Geometría de Euclides

La geometría euclidiana es la rama de la geometría que se ocupa del estudio de las formas y figuras geométricas basándose en diferentes axiomas y teoremas. Este estudio básicamente proporciona una breve explicación de las superficies planas.

Axiomas: Los hechos básicos que se dan por sentados sin prueba se llaman axiomas. Algunos de los axiomas de Euclides son:

Las cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí.

Si se suman iguales a iguales, los enteros son iguales.

Si se restan iguales de iguales, los residuos son iguales.

Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.

El todo es mayor que la parte.

Postulados : Los axiomas son las declaraciones generales, los postulados son los axiomas relacionados con un campo particular. Los cinco postulados de Euclides son.

Se puede trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto.

Una línea terminada se puede producir indefinidamente.

Se puede dibujar un círculo con cualquier centro y cualquier radio.

Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

Si una recta que cae sobre dos rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado tomados juntos sean menores que dos ángulos rectos, entonces las dos rectas, si se producen indefinidamente, se encuentran en el lado en que los ángulos son menores que dos ángulos rectos. .

Capítulo 6: Líneas y ángulos

Las fórmulas importantes y algunos puntos de notas de Líneas y ángulos para notas de clase 9 se proporcionan aquí. Aquí se explican brevemente los diversos conceptos como rectas paralelas, transversales, ángulos, rectas que se cortan, ángulos interiores.

Ángulo : La unión de dos rayos no colineales con un punto de inicio compartido se llama ángulo.

Tipos de ángulos : Los siguientes son los principales tipos de ángulos-

Ángulo agudo: Una medida de ángulo agudo entre 0° y 90°.

Ángulo recto: Un ángulo recto es exactamente igual a 90°.

Ángulo obtuso: Un ángulo mayor de 90° pero menor de 180°.

Ángulo recto: Un ángulo recto es igual a 180°. Ángulo reflejo: Un ángulo que es mayor de 180° pero menor de 360° se llama ángulo reflejo.

Ángulos complementarios: Dos ángulos cuya suma es 90° se llaman ángulos complementarios. Sea un ángulo x, entonces su ángulo complementario es (90°−x).

Ángulos suplementarios: Dos ángulos cuya suma es 180° se llaman ángulos suplementarios. Sea un ángulo x, entonces su ángulo suplementario es (180°−x).

Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes cuando tienen un lado común y un vértice común (punto de esquina) y no se superponen.

Par lineal: un par lineal de ángulos se forma cuando dos líneas se cruzan. Se dice que dos ángulos son lineales si son ángulos adyacentes formados por dos rectas que se cortan. La medida de un ángulo recto es 180°, por lo que un par de ángulos lineales deben sumar 180°.

Ángulos verticalmente opuestos : Los ángulos verticalmente opuestos se forman cuando dos rectas se cortan en un punto. Los ángulos verticalmente opuestos son siempre iguales.

Transversal : Una recta que corta a dos o más rectas dadas en puntos distintos, se llama transversal de la recta dada. Los siguientes son los ángulos que se forman en un recorrido como,

Ángulos correspondientes

Alternar angulos interiores

Ángulos exteriores alternos

Ángulos interiores del mismo lado de la transversal.

Capítulo 7: Triángulos

Un triángulo es un polígono de tres lados con tres aristas y tres vértices, como lo describe la geometría. La propiedad de la suma de los ángulos de un triángulo es la característica más significativa y ampliamente utilizada, que establece que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de solo 180 grados. Tres lados y tres ángulos forman un triángulo, que es un objeto geométrico cerrado.

Congruencia: Congruente se refiere a figuras que son idénticas en todos los aspectos, como sus formas y tamaños. Dos círculos con los mismos radios, por ejemplo, son congruentes. También son congruentes dos cuadrados con los mismos lados.

Triángulos congruentes: dos triángulos son congruentes si y solo si uno de ellos puede superponerse al otro para cubrirlo por completo.

Reglas de congruencia : La siguiente es la lista de algunas reglas importantes de congruencia de triángulos,

Lado ángulo lado (SAS) Congruencia

Ángulo Lado Ángulo (ASA) Congruencia

Ángulo ángulo lado (AAS) Congruencia

Lado lado lado (SSS) Congruencia

Congruencia del lado de la hipotenusa en ángulo recto (RHS)

Capítulo 8: Cuadrilátero

Un cuadrilátero es una figura geométrica plana que tiene cuatro lados y cuatro esquinas o vértices. Por lo general, los cuadriláteros son rectángulos, cuadrados, trapecios y cometas o figuras irregulares y no caracterizadas con cuatro lados. Aquí hay algunas propiedades importantes y notas breves sobre el capítulo Cuadrilátero:

La suma de todos los ángulos de un cuadrilátero es 360°.

Una diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes.

En un paralelogramo ,

las diagonales se bisecan entre sí.

los ángulos opuestos son iguales.

los lados opuestos son iguales

Las diagonales de un cuadrado se bisecan entre sí en ángulo recto y son iguales, y viceversa.

Una línea que pasa por el punto medio de un lado de un triángulo paralelo a otro lado biseca el tercer lado. ( Teorema del punto medio )

El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a la mitad del tercer lado.

En un paralelogramo , las bisectrices de dos ángulos consecutivos cualesquiera se cortan en un ángulo recto.

Si una diagonal de un paralelogramo biseca uno de los ángulos de un paralelogramo también biseca el segundo ángulo.

Las bisectrices de un paralelogramo forman un rectángulo.

Cada uno de los cuatro ángulos de un rectángulo es el ángulo recto.

Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.

Capítulo 9: Áreas de paralelogramos y triángulos

El área de una figura plana se describe como la cantidad de superficie plana cubierta por una figura geométrica cerrada como un rectángulo, un cuadrado, etc. Un paralelogramo es un tipo de cuadrilátero que contiene lados opuestos paralelos. A continuación se menciona la lista de la fórmula utilizada en las áreas de paralelogramos y triángulos como,

Área del paralelogramo = Base × Altura

Área del Triángulo = 1/2 × Base × Altura o 1/2 × Área del Paralelogramo

Área del trapecio = 1/2 × (suma de sus lados paralelos) × distancia entre los dos lados paralelos

Área de Rombo = 1/2 × Producto de sus dos diagonales

Capítulo 10: Círculos

El lugar geométrico de los puntos trazados a una distancia equidistante del centro se conoce como circunferencia . El radio de un círculo es la distancia entre su centro y la línea exterior. El diámetro de un círculo es la línea que lo divide en dos secciones iguales y es igual al doble del radio. Por lo tanto, en el programa de estudios de la Clase 9 se analizan las siguientes propiedades y fórmulas importantes relacionadas con los círculos:

Los círculos concéntricos son círculos con el mismo centro pero diferentes radios.

Arco: Un arco del círculo es una porción continua de un círculo.

Cuerda : La cuerda del círculo es un segmento de línea que conecta dos ubicaciones en un círculo. Algunas propiedades importantes de las cuerdas de un círculo son:

El diámetro de un círculo se define como una cuerda que pasa por su centro.

El diámetro de un círculo lo divide en dos secciones iguales, que se llaman arcos . Un semicírculo está formado por estos dos arcos.

Si dos arcos de un círculo tienen el mismo grado de medida, se dice que son congruentes.

Cuando dos arcos tienen la misma longitud, sus cuerdas asociadas también tienen la misma longitud.

La cuerda es bisecada por una perpendicular trazada desde el centro hasta la cuerda del círculo, y viceversa.

Tres puntos no colineales son intersecados por una y sólo una circunferencia.

Las cuerdas circulares iguales son equidistantes del centro.

La recta que pasa por los centros de dos circunferencias que se cortan en dos puntos es perpendicular a la cuerda común.

El ángulo de un arco en el centro del círculo es el doble del ángulo que tiene en el resto de la circunferencia .

Cualquier par de ángulos en el mismo segmento circular son iguales.

Las cuerdas iguales de un círculo forman un ángulo igual en el centro.

La cuerda mayor de un círculo está más cerca del centro que la cuerda menor.

El semicírculo tiene un ángulo recto. En el centro del círculo, cuerdas iguales subtienden un ángulo igual.

Cuadrilátero cíclico : Se dice que un cuadrilátero es cíclico si todos sus vértices están en el perímetro de un círculo.

La suma de los ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico es 180° y viceversa.

El ángulo exterior de un cuadrilátero cíclico es igual a su ángulo opuesto interior.

Capítulo 11: Construcciones

El Capítulo 11 de la Clase 9 de Construcciones demuestra cómo diseñar varias formas con un compás y una regla. Este capítulo explica cómo crear la bisectriz de un ángulo dado, así como también cómo hacer una bisectriz perpendicular de un segmento de línea dado, utilizando etapas de construcción y una imagen clara. Para obtener calificaciones altas, también debe poder aprender todas las preguntas relevantes en el libro de texto para los problemas de construcción del Capítulo 11 de Matemáticas de Clase 9. Las siguientes son las diferentes reglas para construir figuras geométricas importantes:

Construcción de la bisectriz de un segmento de recta

Construcción de la bisectriz de un ángulo dado

Construcción del triángulo equilátero

Construcción de un triángulo cuando se dan su base, la suma de los otros dos lados y un ángulo de la base

Construcción de un triángulo cuando se dan su base, la diferencia de los otros dos lados y un ángulo de la base

Construcción de un triángulo de perímetro dado y dos ángulos base

Capítulo 12: Fórmula de Heron

Un triángulo es una forma tridimensional cerrada en geometría . Aquí un estudiante puede encontrar la fórmula de Heron y sus importantes aplicaciones que se estudian en el programa de estudios de la Clase 9. La fórmula de Heron se usa para calcular el área de los triángulos. La siguiente es la lista de la fórmula de Heron y sus aplicaciones importantes:

El semiperímetro de un Triángulo , s = (a+b+c)/2

Área del triángulo = √{s(s−a)(s−b)(s−c)} unidad cuadrada.

Para un Triángulo Equilátero de lado a:

Su perímetro = 3a unidades

Su Altitud = √3/2 a unidades

Su Área = √3/4 a ² unidades

Capítulo 13: Áreas de superficie y volúmenes

El área de superficie es uno de los subtemas más esenciales en la clase 9 Áreas de superficie y volúmenes . Cuando calculamos el espacio que ocupa un elemento bidimensional, lo llamamos área y lo medimos en unidades cuadradas; sin embargo, cuando calculamos el espacio ocupado por un objeto tridimensional, lo llamamos área de superficie y también lo medimos en unidades cuadradas. Hay dos tipos de superficies:

Área de superficie total (TSA): el área total cubierta por la superficie del objeto se denomina área de superficie total. A continuación se muestra la lista de las áreas de superficie total de algunas figuras geométricas importantes:

TSA de un cuboide = 2(lxb) +2(bxh) +2(hxl)

TSA de un Cubo = 6a ²

TSA de un cilindro circular recto = 2πr(h+r)

TSA de un cono circular recto = πr(l+r)

TSA de una Esfera = 4πr ²

Área de superficie lateral/curva: El área de superficie curva es el área de solo el componente curvo, o en el caso de paralelepípedos o cubos, es el área de solo cuatro lados, excluyendo la base y la parte superior. Se llama área de superficie lateral para formas como cilindros y conos.

CSA de un Cuboide = 2h(l+b)

CSA de un Cubo = 4a ²

CSA de un cilindro circular recto = 2πrh

CSA de un cono circular recto = πrl

Volumen: El volumen de un objeto o material es la cantidad de espacio que ocupa, medido en unidades cúbicas. No hay volumen en un objeto bidimensional, solo área. El volumen de un círculo no se puede calcular porque es una figura 2D, mientras que el volumen de una esfera se puede calcular porque es una figura 3D.

Volumen de un cuboide = lxbxh

Volumen de un cubo = un ³

Volumen de un cilindro circular recto = πr ² h

Volumen de un cono circular recto = 1/3πr ² h

Volumen de una Esfera = 4/3πr ³

Aquí, l es la longitud, b es el ancho, h es la altura, r es el radio y a es el lado de la figura geométrica respectiva.

Capítulo 14: Estadísticas

La estadística es el estudio de la representación, recopilación, interpretación, análisis, presentación y organización de datos. En otras palabras, es una forma matemática de recopilar, resumir datos. La representación de los datos de forma diferente junto con la distribución de frecuencias . Ciertos hechos o cifras que pueden recopilarse o transformarse en algún propósito útil se conocen como datos. Estos datos se pueden representar gráficamente para aumentar la legibilidad para las personas. A continuación se menciona el breve resumen de este capítulo:

Marca de clase = (Límite inferior + Límite superior)/2

Las tres tendencias centrales se miden como:

Media (x‾) = Suma de todas las observaciones (∑x_n ) / Número total de observaciones (N)

Mediana = La mediana para un número par de observaciones es igual a la observación más media entera para el número impar de observaciones es igual al valor de ((n+1)/2)-ésima observación.

Moda = Es igual a la observación que ocurre más o tiene la frecuencia máxima en los datos dados.

Capítulo 15: Probabilidad

La probabilidad en esta clase incluye la teoría de probabilidad básica, que también se usa en la distribución de probabilidad , para conocer la posibilidad de resultados para un experimento aleatorio y para encontrar la probabilidad de que ocurra un solo evento, cuando el número total de resultados posibles. La probabilidad es la posibilidad de que ocurra cualquier evento. La probabilidad de cualquier evento solo puede ser de 0 a 1, siendo 0 ninguna posibilidad y 1 la posibilidad de que ese evento suceda.

Probabilidad P (E) = Número de resultados favorables / Número total de resultados

La probabilidad de cualquier evento solo se encuentra entre 1 y 0.

Juicio: Se define como el conjunto de observaciones de evento en el que se observan uno o más resultados.

Evento : Se define como el conjunto de observaciones realizadas para observar un experimento.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por GeeksforGeeks-1 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA