Centro de gravedad

A menudo, mientras se ocupan de la mecánica y la gravedad, los ingenieros y científicos se encuentran con cuerpos sólidos que no tienen masas puntuales. Dichos cuerpos son de mayor tamaño y no se pueden considerar como masas puntuales en los cálculos. En tales casos, se supone que existe un punto determinado donde se concentra toda la masa del cuerpo y la gravedad también actúa en un punto determinado. Esta suposición nos permite simplificar cálculos complejos. Estos puntos se denominan centro de masa y centro de gravedad respectivamente. Veamos estos conceptos en detalle.

Teóricamente, el centro de gravedad se considera un punto donde actúa el peso del cuerpo. Encontrar este punto es muy esencial en cuerpos que tienen grandes tamaños y, a menudo, una distribución de masa no uniforme. Este punto nos permite predecir el movimiento de tales cuerpos bajo la influencia de la gravedad. Si un cuerpo está en equilibrio por este punto, está en equilibrio de rotación y traslación. Considere el ejemplo del cuerpo dado en la siguiente figura,

La figura muestra un cartón que se equilibra con un lápiz debajo. La punta del lápiz aplica una fuerza de reacción en la punta que mantiene el cartón en equilibrio traslacional. También está en equilibrio rotacional, se puede verificar por el hecho de que el objeto no tiene ninguna aceleración angular. Supongamos que el cartón está formado por masas puntuales individuales muy pequeñas m ₁ , m ₂ , m ₃ …

La gravedad actúa sobre todas estas masas puntuales creando un par alrededor del punto. El centro de gravedad (CG) está ubicado de tal manera que el par total en el CG debido a las fuerzas en las masas puntuales individuales es cero. Si r _i es el vector de posición de la i-ésima partícula con respecto al CG, entonces el torque sobre ella debido a la fuerza gravitatoria está dado por,

$\tau_i = \vec{r_i} \times m_ig$

Para un punto que es el centro de gravedad, el par total alrededor de ese punto debe ser cero,

$\sum \tau_i =\sum \vec{r_i} \times m_ig = 0$

Observe que en la ecuación anterior, la fuerza gravitatoria «g» es la misma para todos los puntos. Puede salir de la ecuación como factor común a todos los términos.

$g\sum \vec{r_i} \times m_i = 0$

Dado que g es una constante y distinta de cero. Se puede concluir que,

$\sum \vec{r_i} \times m_i = 0$

Centro de Masa y Centro de Gravedad

Su posición se define en relación con un objeto o el sistema de objetos cuyo centro de masa se va a calcular. Por lo general, para formas uniformes, es su centroide. Comencemos con formas simples y veamos dónde están ubicados sus centros de masas. Considere las formas dadas en la siguiente figura. Es fácil adivinar el centro de masas de las siguientes formas. Para la mayoría de ellos, el centro de masa está en su centroide.

Observe, para un anillo, su Centro de masa se encuentra dentro del anillo, lo que significa que es necesario que el Centro de masa de un cuerpo se encuentre en el propio cuerpo. Ahora, es claro que los cuerpos que son uniformes y simétricos tienen su Centro de masas en su baricentro. Pero para cuerpos que no son simétricos y uniformes, la respuesta no es tan simple. El centro de masa de tales cuerpos puede estar en cualquier lugar. Calcular el centro de masa de un objeto complejo. Se toma un promedio ponderado de las ubicaciones de cada masa del cuerpo.

Digamos que hay un cuerpo que consta de un conjunto de masas «m _i «, cada una en la posición r _i relativa a la ubicación del Centro de masa.

⇒ r _cm = $\sum m_i \times r_i$

Observe que en caso de que la fuerza gravitatoria sea constante, la posición del centro de masa y el centro de gravedad son las mismas. Si un cuerpo es tan extenso que el valor de la fuerza gravitacional que actúa sobre sus diferentes partes es diferente. Entonces el factor común «g» no se puede sacar y la posición del centro de masa es diferente al centro de gravedad.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Dos masas puntuales, m ₁ = 5 kg y m ₂ = 2 kg, están ubicadas en x = 2 m yx = 6 m respectivamente. Encuentre el centro de gravedad.

Solución:

La fórmula para el centro de gravedad es igual al centro de masa cuando la gravedad es constante

_cm x = $\frac{ m_1x_1 + m_2x_2 + ...}{M}$

m ₁ = 5 kg, m ₂ = 2 kg y x = 2 m y x = 6 m.

M =m ₁ +m ₂

⇒ METRO = 5 + 2 = 7

_cm x = $\frac{ m_1x_1 + m_2x_2 + ...}{M}$

⇒x _cm = $\frac{ m_1x_1 + m_2x_2}{M}$

⇒x _cm = $\frac{ (5)(2) + (2)(6)}{7}$

⇒x _cm = $\frac{22}{7}$

Pregunta 2: dos masas puntuales, m ₁ = 5 kg y m ₂ = 2 kg, están ubicadas en y = 10 my y = -5 m respectivamente. Encuentre el centro de gravedad.

Solución:

La fórmula para el Centro de gravedad está dada por,

_ycm = $\frac{ m_1y_1 + m_2y_2 + ...}{M}$

m ₁ = 5Kg, m ₂ = 2Kg y y = 10m y y = -5 m.

M =m ₁ +m ₂

⇒ METRO = 5 + 2 = 7

y _cm = $\frac{ m_1y_1 + m_2y_2 + ...}{M}$

⇒ y _cm = $\frac{ m_1y_1 + m_2y_2}{M}$

⇒ y _cm = $\frac{ (5)(10) + (2)(-5)}{7}$

⇒ y _cm = $\frac{40}{7}$

Pregunta 3: dos masas puntuales, m ₁ = 1 kg y m ₂ = 2 kg, están ubicadas en el vector a = 6i + 4j y el vector b = -5i + 2j respectivamente. Encuentre el centro de gravedad.

Solución:

La fórmula para el centro de gravedad en notación vectorial está dada por,

cm = _{_} $\frac{ m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...}{M}$

m ₁ = 1Kg, m ₂ = 2Kg y a = 6i + 4j, b = -5i + 2j

METRO = metro ₁ + metro ₂

⇒ METRO = 1 + 2 = 3

cm = _{_} $\frac{ m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...}{M}$

⇒ r _cm = $\frac{ m_1\vec{a} + m_2\vec{b}}{M}$

⇒ r _cm = $\frac{ (1)(6\hat{i} + 4\hat{j} ) + (2)(-5\hat{i} + 2\hat{j})}{7}$

⇒ r _cm = $\frac{ 6\hat{i} + 4\hat{j} + -10\hat{i} + 4\hat{j})}{7}$

⇒ r _cm = $\frac{ -4\hat{i} + 8\hat{j} }{7}$

Pregunta 4: dos masas puntuales, m ₁ = 4 kg y m ₂ = 2 kg, están ubicadas en el vector a = i + j y el vector b = -i + j respectivamente. Encuentre el centro de gravedad.

Solución:

La fórmula para el centro de gravedad en notación vectorial está dada por,

cm = _{_} $\frac{ m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...}{M}$

m ₁ = 4Kg, m ₂ = 2Kg y a = i + j, b = -i + j

M =m ₁ +m ₂

⇒ METRO = 4 + 2 = 6

cm = _{_} $\frac{ m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...}{M}$

⇒ r _cm = $\frac{ m_1\vec{a} + m_2\vec{b}}{M}$

⇒ r _cm = $\frac{ (4)(\hat{i} + \hat{j} ) + (2)(\hat{i} -\hat{j})}{7}$

⇒ r _cm = $\frac{ 4\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{i} -2\hat{j})}{7}$

⇒ r _cm = $\frac{ 6\hat{i} + 2\hat{j} }{7}$

Pregunta 5: Un disco de radio R/2 se extrae de un disco más grande de masa M de radio R. Encuentra el centro de gravedad.

Solución:

Dado que la densidad del disco es uniforme, el peso se distribuye uniformemente en toda el área.

Masa “m” del disco extraído = $\frac{M (\pi (\frac{R}{2})^2)}{\pi R^2} \\ = \frac{M}{4}$

Deje que la distancia del centro de masa de la porción restante sea «x».

$0 = \frac{x\frac{3M}{4} + \frac{R}{2}\frac{M}{4}}{\frac{3M}{4} + \frac{M}{4}} \\ = 0 = x\frac{3M}{4} + \frac{RM}{8} \\ = -\frac{RM}{8} = x\frac{3M}{4} \\ = x = \frac{-R}{6}$

Pregunta 6: A un disco mayor de masa M de radio R se le quita un disco de radio R/4, de la misma forma que en la figura anterior. Encuentre el centro de gravedad.

Solución:

Dado que la densidad del disco es uniforme, el peso se distribuye uniformemente en toda el área.

Masa “m” del disco extraído = $\frac{M (\pi (\frac{R}{4})^2)}{\pi R^2} \\ = \frac{M}{16}$

Deje que la distancia del centro de gravedad de la porción restante sea «x».

$0 = \frac{x\frac{15M}{16} + \frac{R}{2}\frac{M}{16}}{\frac{15M}{16} + \frac{M}{16}} \\ = 0 = x\frac{15M}{16} + \frac{RM}{32} \\ = -\frac{RM}{32} = x\frac{15M}{16} \\ = x = \frac{-R}{30}$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA