Centro de masa de diferentes objetos

Centro de masa es un concepto importante en el área de la mecánica. Nos permite tratar con cuerpos muy grandes que, de otro modo, serían muy difíciles de manejar. Este concepto nos permite considerar un cuerpo muy grande como una masa puntual y realizar todos los cálculos tal como es sin preocuparnos por su forma y tamaño. Para cuerpos uniformes y simétricos, el centro de masa suele estar en la misma posición que su centroide. Pero a menudo se encuentran cuerpos que no son uniformes ni simétricos. En ese caso, es fundamental estudiar cómo calcular el centro de masa de diferentes cuerpos de formas y tamaños arbitrarios. Estudiemos estos métodos en detalle.

Centro de masa

Considere un cuerpo que está formado por muchas partículas. La masa de ese cuerpo es igual a la masa total de todas las partículas. En los casos en que dichos cuerpos están en traslación, se produce un desplazamiento en todas y cada una de las partículas del cuerpo. Cuando un cuerpo de este tipo experimenta un movimiento y una fuerza actúa sobre él, se supone que la fuerza actúa sobre un solo punto. Ese único punto se denomina Centro de masa del cuerpo. Se supone que toda la masa del cuerpo se concentra en este punto.

Centro de masa de dos sistemas de masa

En la vida real se encuentran dos sistemas de masas en muchos lugares. Una mancuerna también se puede considerar como un sistema de dos masas. Por ahora, supongamos que la conexión entre las dos masas que se están considerando tiene masa cero. Consideremos las dos masas dadas en la siguiente figura. El centro de masa de este sistema está dado por,

$X = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2}$

Esta distancia está dada desde el Centro O.

La ecuación anterior se puede ver como un promedio ponderado de las dos masas. Si ambas masas son iguales m ₁ = m ₂ = m.

$X = \frac{mx_1 + mx_2}{m + m} \\ X = \frac{x_1 + x_2}{2}$

Por lo tanto, para partículas que tienen la misma masa, el centro de masa se encuentra en el punto medio. Si el sistema está formado por muchas partículas m ₁ , m ₂ , m ₃ , …..m _n a lo largo de una línea recta similar al caso anterior _.El centro de masa está dado por,

$X = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + ....m_nx_n}{m_1 + m_2 + ... m_n}$

Fórmula general para el centro de masa

Dado que todos los sistemas se pueden descomponer en sistemas que están formados por muchas partículas a una distancia particular del origen. Hasta ahora, se ha supuesto que las partículas se encuentran en el eje x. En realidad, los cuerpos son tridimensionales. Entonces, la fórmula general para el centro de masa de cuerpos tridimensionales está dada por,

$x_{CM} = \frac{\sum^{n}_{i}m_ix_i}{\sum^{n}_{i}m_i} = \frac{\int xdm}{M}$

$y_{CM} = \frac{\sum^{n}_{i}m_iy_i}{\sum^{n}_{i}m_i} = \frac{\int ydm}{M}$

$z_{CM} = \frac{\sum^{n}_{i}m_iz_i}{\sum^{n}_{i}m_i} = \frac{\int zdm}{M}$

Centro de masa de diferentes objetos

Para objetos que son simétricos y uniformes, el centro de masa de dichos objetos se encuentra en su centroide. Un ejemplo de objetos simétricos y uniformes son: anillos, círculos, cuadrados y cuboides, etc. El centro de masa de algunas formas estándar se muestra a continuación.

Triángulo equilátero

y _c = $\frac{h}{3}$

Disco semicircular

y _c = $\frac{4r}{3\pi}$

Anillo semicircular

y _c = $\frac{2r}{\pi}$

Concha hemisférica

y _c = $\frac{r}{2}$

hemisferio sólido

y _c = $\frac{3r}{8}$

Problemas de muestra

Pregunta 1: Dos masas puntuales, m ₁ = 1 kg y m ₂ = 2 kg, están ubicadas en x = 1 m y x = 2 m respectivamente. Encuentre el Centro de masa.

Solución:

La fórmula para el centro de masa está dada por,

_cm x = $\frac{ m_1x_1 + m_2x_2 + ...}{M}$

m ₁ = 1 kg, m ₂ = 2 kg y x = 1 m y x = 2 m.

METRO = metro _{1 +} metro ₂

⇒ METRO = 1 + 2 = 3

_cm x = $\frac{ m_1x_1 + m_2x_2 + ...}{M}$

⇒x _cm = $\frac{ m_1x_1 + m_2x_2}{M}$

⇒x _cm = $\frac{ (1)(2) + (2)(2)}{3}$

⇒x _cm = 2

Pregunta 2: dos masas puntuales, m ₁ = 4 kg y m ₂ = 2 kg, están ubicadas en el vector a = i + j y el vector b = -i + j respectivamente. Encuentre el centro de masa.

Solución:

La fórmula para el centro de masa en la notación vectorial está dada por,

cm = _{_} $\frac{ m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...}{M}$

m ₁ = 4Kg, m ₂ = 2Kg y a = i + j, b = -i + j

METRO = metro _{1 +} metro ₂

⇒ METRO = 4 + 2 = 6

cm = _{_} $\frac{ m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...}{M}$

⇒r _cm = $\frac{ m_1\vec{a} + m_2\vec{b}}{M}$

⇒ r _cm = $\frac{ (4)(\hat{i} + \hat{j} ) + (2)(\hat{i} -\hat{j})}{7}$

⇒ r _cm = $\frac{ 4\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{i} -2\hat{j})}{7}$

⇒ r _cm = $\frac{ 6\hat{i} + 2\hat{j} }{7}$

Pregunta 3: dos masas puntuales, m ₁ = 4 kg y m ₂ = 2 kg, están ubicadas en el vector a = 2i – j y el vector b = 3i + 5j respectivamente. Encuentre el centro de masa.

Solución:

La fórmula para el centro de masa en la notación vectorial está dada por,

cm = _{_} $\frac{ m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...}{M}$

m ₁ = 4Kg, m ₂ = 2Kg y a = 2i – j, b = 3i + 5j

METRO = metro _{1 +} metro ₂

⇒ METRO = 4 + 2 = 6

cm = _{_} $\frac{ m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...}{M}$

⇒r _cm = $\frac{ m_1\vec{a} + m_2\vec{b}}{M}$

⇒ r _cm = $\frac{ (4)(2\hat{i} - \hat{j} ) + (2)(3\hat{i} +5\hat{j})}{7}$

⇒ r _cm = $\frac{ 8\hat{i} -4\hat{j} + 6\hat{i} +10\hat{j}}{7}$

⇒ r _cm = $\frac{ 14\hat{i} + 6\hat{j} }{7}$

Pregunta 4: Un disco de radio R/2 se quita de un disco más grande de masa M de radio R. Encuentra el centro de masa.

Solución:

Dado que la densidad del disco es uniforme, el peso se distribuye uniformemente en toda el área.

Masa “m” del disco extraído = $\frac{M (\pi (\frac{R}{2})^2)}{\pi R^2} \\ = \frac{M}{4}$

La figura muestra el centro de masas de la parte restante y la parte eliminada. Note que si ambos se toman juntos, el centro de masa debe estar en el Centro. Deje que la distancia del centro de masa de la porción restante sea «x».

$0 = \frac{x\frac{3M}{4} + \frac{R}{2}\frac{M}{4}}{\frac{3M}{4} + \frac{M}{4}} \\ = 0 = x\frac{3M}{4} + \frac{RM}{8} \\ = -\frac{RM}{8} = x\frac{3M}{4} \\ = x = \frac{-R}{6}$

Pregunta 5: Dos varillas de metal de masa «m» y «2 m» están dispuestas como se muestra en la siguiente figura. Encuentre el CM del sistema si la longitud de cada varilla es de 1 m.

Solución:

Dado que las varillas son de densidad uniforme. El centro de masa de cada barra se encuentra en su punto medio. Ahora todo el sistema puede ser considerado como un sistema de dos masas puntuales mantenidas en sus respectivos Centros de masas.

La fórmula para el centro de masa está dada por,

_cm x = $\frac{ m_1x_1 + m_2x_2 + ...}{M}$

m ₁ = m, m ₂ = 2 m y x = 0 m y x = 0,5 m.

METRO = metro _{1 +} metro ₂

⇒ METRO = 1 metro + 2 metros = 3 metros

_cm x = $\frac{ m_1x_1 + m_2x_2 + ...}{M}$

⇒x _cm = $\frac{ m_1x_1 + m_2x_2}{M}$

⇒x _cm = $\frac{ (m)(0) + (2m)(0.5)}{3m}$

⇒x _cm = $\frac{0.5}{3}$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Centro de masa

Centro de masa de dos sistemas de masa

Fórmula general para el centro de masa

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