Circuncentro de un Triángulo

Posted on by Rudeus Greyrat

El punto de intersección, o el punto de encuentro de las bisectrices perpendiculares de un triángulo, es el circuncentro de un triángulo y generalmente se representa con la letra «O». En palabras simples, el circuncentro de un triángulo es el punto de concurrencia de las bisectrices de los lados de un triángulo. El segmento de línea que biseca a otro segmento de línea en un ángulo recto se llama bisectriz perpendicular.

 

¿Qué es un Circuncentro?

Un circuncentro es el centro de un circuncírculo, mientras que un circuncírculo es un círculo que pasa por todos los vértices de un polígono, es decir, un círculo en el que está encerrado un polígono. Cada círculo es cíclico, lo que significa que cada triángulo puede circunscribir un círculo. Por lo tanto, cualquier tipo de triángulo tendrá un circuncentro. 

Para la construcción del circuncentro de cualquier triángulo, se deben dibujar las mediatrices de dos lados cualesquiera de un triángulo.

Propiedades de un circuncentro

 

Consideremos un triángulo ABC. Ahora, las propiedades del circuncentro de un triángulo son:

  1. El circuncentro de un triángulo equidista de todos los vértices, es decir, OA = OB = OC.
  2. Todos los nuevos triángulos que se forman al unir el circuncentro de un triángulo con sus vértices son isósceles, es decir, ∆ AOB, ∆ BOC y ∆ COA son triángulos isósceles.
  3. En un triángulo, si ∠A es agudo o cuando O y A están del mismo lado de BC, entonces ∠BOC = 2 ∠A.
  4. En un triángulo, si ∠A es obtuso o cuando O y A están en lados diferentes de BC, entonces ∠BOC = 2(180° – ∠A).
  5. Para un triángulo acutángulo, el circuncentro se encuentra dentro del triángulo.
  6. En el caso de un triángulo obtusángulo, el circuncentro se encuentra fuera del triángulo.
  7. Para un triángulo rectángulo, el circuncentro se encuentra en la hipotenusa del triángulo.

 

Construcción del circuncentro de un triángulo.

Para construir el circuncentro de cualquier triángulo, necesitamos dibujar las mediatrices de los dos lados del triángulo. Los siguientes son los pasos para construir el circuncentro de un triángulo:

Paso 1: Para el triángulo dado, dibuja las bisectrices perpendiculares de cualquiera de los dos lados usando un compás.

Paso 2: Con la ayuda de una regla, extiende las bisectrices perpendiculares hasta que se crucen en un punto.

Paso 3: Ahora marca el punto de intersección, que será el circuncentro del triángulo dado.

Podemos obtener el circuncentro con precisión dibujando la bisectriz perpendicular del tercer lado del triángulo.

¿Cómo encontrar el Circuncentro de un Triángulo?

Podemos calcular el circuncentro de un triángulo usando diferentes métodos.

Método 1

Consideremos un triángulo ABC cuyos vértices son A (x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) y C (x 3 , y 3 ), y O(x, y) es su circuncentro.

Paso 1: Calcula las coordenadas de los puntos medios de los lados AB, BC y AC usando la fórmula del punto medio.

M(x metro , y metro ) = [(x 1 + x 2 )/2, (y 1 + y 2 )/2]

Paso 2: Calcula las pendientes de los lados AB, BC y AC. Sea m la pendiente de un lado, entonces la pendiente de su bisectriz perpendicular es “-1/m”.

Paso 3: Ahora, usando las coordenadas del punto medio (x m , y m ) y la pendiente de la bisectriz perpendicular (-1/m), encuentra la ecuación de la bisectriz perpendicular usando la forma punto-pendiente.

(y – y m ) = -1/m(x – x m )

Paso 4: Del mismo modo, averigüe las ecuaciones de las otras líneas bisectrices también.

Paso 5: Resuelve cualquiera de las dos ecuaciones y encuentra su punto de intersección.

El punto de intersección obtenido es el circuncentro del triángulo dado.

Método 2

Consideremos un triángulo ABC cuyos vértices son A (x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) y C (x 3 , y 3 ), y O (x, y) es su circuncentro.

Sabemos que el circuncentro de un triángulo equidista de todos los vértices, es decir, OA = OB = OC = circunradio.

Sean OA = D 1 , OB = D 2 y OC = D 3 .

Paso 1: usando la fórmula de distancia entre dos coordenadas, encuentre los valores de D 1 , es decir,

(D 1 ) 2 = (x – x 1 ) 2 + (y – y 1 ) 2

Similarmente,

(D 2 ) 2 = (x – x 2 ) 2 + (y – y 2 ) 2

(D 3 ) 2 = (x – x 3 ) 2 + (y – y 3 ) 2

Paso 2: Ahora, al igualar D 1 = D 2 = D 3 obtendremos ecuaciones lineales. Al resolver estas ecuaciones lineales, podemos obtener las coordenadas del circuncentro O (x, y).

Método-3

Consideremos un triángulo ABC cuyos vértices son A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) y C (x 3 , y 3 ), y ∠A, ∠B y ∠C son sus respectivos anglos. O (x, y) es el circuncentro del triángulo.

Podemos determinar el circuncentro fácilmente usando la siguiente fórmula.

(O(x, y)=\frac{x_{1}sin2A+x_{2}sin2B+x_{3}sin2C}{sin2A+sin2B+sin2C}\, \frac{y_{1}sin2A+y_{2}sin2B+y_{3}sin2C}{sin2A+sin2B+sin2C}

Problemas de muestra 

Problema 1: Determina el circuncentro de un triángulo con vértices A (1,3), B (0,4) y C (-2,5).

Solución:

Dados los datos,

Los vértices de un triángulo son A (x 1 , y 1 ) = (1,3), B (x 2 , y 2 ) = (0,4) y C (x 3 , y 3 ) = (-2, 5).

Sea “O” el circuncentro del triángulo ABC y (x, y) sus coordenadas.

Sea D 1 la distancia del circuncentro al vértice A, es decir, OA = D 1 .

Sea D 2 la distancia del circuncentro al vértice B, es decir, OB = D 2 .

Sea D 3 la distancia del circuncentro al vértice C, es decir, OC = D 3 .

Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos obtenemos

(D 1 ) 2 = (x – x 1 ) 2 + (y – y 1 ) 2 = (x – 1) 2 + ( y – 3) 2

(D 2 ) 2 = (x – x 2 ) 2 + (y – y 2 ) 2 = ( x- 0) 2 + (y – 4) 2

(D 3 ) 2 = (x – x 3 ) 2 + (y – y 3 ) 2 = (x + 2) 2 + (y – 5) 2

Sabemos que las distancias de todos los vértices al circuncentro (O) son iguales, es decir,

OA = OB = OC = circunradio

⇒ re 1 = re 2 = re 3

Ahora, toma D 1 = D 2

 (x -1) 2 + (y – 3) 2 = (x – 0) 2 + (y -4) 2

⇒ x2 – 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = x2 + y2 – 8y + 16

⇒ 2x – 2y = -6 ……(1)

Ahora, toma D 2 = D 3

 (x-0) 2 + (y – 4) 2 = (x + 2) 2 + (y – 5) 2

⇒ x2 + y2 – 8y + 16 = x2 + 4x + 4 + y2 – 10y + 25

⇒ 4x – 2y = -13 …..(2)

Ahora, resuelve ambas ecuaciones (1) y (2)

2x – 2y = – 6

4x – 2y = -13 

(-) (+) (+)

 – 2x = 7

⇒ x = -7/2 = – 3,5

Ahora, sustituya el valor de x en la ecuación (1)

2 (-3,5) – 2 años = -6

⇒ -7 – 2 años = -6 

⇒ 2y = -1 ⇒ y = -1/2 = -0.5

Por lo tanto, el circuncentro del triángulo ABC es (-3.5, -0.5)

Problema 2: Determina el circuncentro del triángulo con vértices A (3, -6), B (1, 4) y C (5, 2).

Solución:

Dados los datos,

Los vértices de un triángulo son A (x 1 , y 1 ) = (3, -6), B (x 2 , y 2 ) = (1, 4) y C (x 3 , y 3 ) = (5, 2).

Sea “O” el circuncentro del triángulo ABC y (x, y) sus coordenadas.

Para encontrar el circuncentro de un triángulo, podemos calcular el punto de intersección de dos bisectrices perpendiculares cualesquiera.

Ahora, el punto medio del lado AB = [(3 + 1)/2, (-6 + 4)/2] = (2, -1)

Pendiente de AB = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 ) = (4 + 6)/(1 – 3) = -5

Sabemos que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares = -1.

Entonces, la pendiente de la mediatriz del lado AB = 1/5

Ahora, la ecuación de la mediatriz de AB con pendiente = 1/5 y las coordenadas (2,-1) es

(y – (-1)) = (1/5) (x – 2) [De forma punto-pendiente]

⇒ 5(y +1) = x – 2

⇒ x – 5y = 7 ……(1)

El punto medio del lado BC es [(1 + 5)/2, (4 + 2)/2] = (3,3)

Pendiente de BC = (y 3 – y 2 )/(x 3 – x 2 ) = (2 – 4)/(5 – 1) = -1/2

Ahora, la pendiente de la mediatriz del lado BC = 2

La ecuación de la mediatriz de BC con pendiente = 2 y las coordenadas (3,3) es

(y – 3) = 2(x – 3) [De la forma punto-pendiente]

⇒ y – 3 = 2x – 6

⇒ 2x – y = 3 …….(2)

Ahora, multiplique la ecuación (1) con «2» en ambos lados y reste la ecuación (2) de la ecuación obtenida.

2x – 10y = 14

2x – y = 3   

(-) (+) (-)

-9y = 11

⇒ y = -11/9

Ahora sustituya el valor de y en la ecuación (2)

2x + 11/9 = 3

⇒ x = 8/9

Por tanto, el circuncentro del triángulo ABC es (8/9, -11/9).

Problema 3: Encuentra el circuncentro del ∆ ABC con vértices A (1, 3), B (3, 7) y C (5, 9), y las medidas de los ángulos respectivos son 45°, 45° y 90° °.

Solución:

Dados los datos, 

Los vértices de un triángulo son A (x 1 , y 1 ) = (0, 3), B (x 2, y 2 ) = (3, 7) y C (x 3 , y 3 ) = (5, 9 ).

Las medidas de los ángulos son ∠A = 45°, ∠B = 45° y ∠C = 90°.

Conocemos la fórmula del circuncentro (O) de un triángulo cuando se dan sus vértices y sus respectivos ángulos, es decir,

Circuncentro (O) = ( \frac{x_{1}sin2A+x_{2}sin2B+x_{3}sin2C}{sin2A+sin2B+sin2C} ,   \frac{y_{1}sin2A+y_{2}sin2B+y_{3}sin2C}{sin2A+sin2B+sin2C} )

O = ( \frac{1sin2(45{^\circ})+3sin2(45{^\circ})+5sin2(90{^\circ})}{sin2(45{^\circ})+sin2(45{^\circ})+sin2(90{^\circ})} ,  \frac{3sin2(45{^\circ})+7sin2(45{^\circ})+9sin2(90{^\circ})}{sin2(45{^\circ})+sin2(45{^\circ})+sin2(90{^\circ})} )

= ( \frac{1sin90{^\circ}+3sin90{^\circ}+5sin180{^\circ}}{sin90{^\circ}+sin90{^\circ}+sin180{^\circ}} ,  \frac{3sin90{^\circ}+7sin90{^\circ}+9sin180{^\circ}}{sin90{^\circ}+sin90{^\circ}+sin180{^\circ}} )

= ( \frac{1\times1+3\times0+5\times0}{1+0+0} ,  \frac{3\times1+7\times0+9\times0}{1+0+0} )

Circuncentro (O) = (1, 3)

Por lo tanto, el circuncentro del triángulo ABC es (1,3)

Problema 4: Encuentra el circuncentro de un triángulo cuyos vértices son A (0, 6), B (-8, 4) y C (2, -4).

Solución:

Dados los datos,

Los vértices de un triángulo son A (x 1 , y 1 ) = (0, 6), B (x 2 , y 2 ) = (-8, 4) y C (x 3 , y 3 ) = (2, -4).

Sea “O” el circuncentro del triángulo ABC y (x, y) sus coordenadas.

Para encontrar el circuncentro de un triángulo, podemos calcular el punto de intersección de dos bisectrices perpendiculares cualesquiera.

Ahora, el punto medio del lado AB = [(0 – 8)/2, (6 + 4)/2] = (-4, 5)

Pendiente de AB = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 ) = (4 – 6)/(-8 – 0) = 1/4

Sabemos que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares = -1.

Entonces, la pendiente de la mediatriz del lado AB = -4

Ahora, la ecuación de la mediatriz de AB con pendiente = -4 y las coordenadas (-4, 5) es

(y – 5) = -4(x+ 4) [De forma punto-pendiente]

⇒ y – 5 = -4x – 16

⇒ 4x + y = -11 ——— (1)

El punto medio del lado BC es [(-8 +2)/2, (4 – 4)/2] = (-3, 0)

Pendiente de BC = (y3 – y2)/(x3 – x2) = (-4 – 4)/(2 + 8) = -4/5

Ahora, la pendiente de la mediatriz del lado BC = 5/4

La ecuación de la mediatriz de BC con pendiente = 5/4 y las coordenadas (-3, 0) es

(y – 0) = 5/4(x + 3) [De forma punto-pendiente]

⇒ 4y = 5x + 15

⇒ 5x – 4y = -15 ——— (2)

Ahora, multiplica la ecuación (1) por “4” en ambos lados y suma el resultado a la ecuación (2).

16x + 4y = -44

5x – 4y = -15 

——————

21x = -59 ⇒x = -59/21

Ahora, sustituya x = -59/21 en la ecuación (1)

4(-59/21) + y = -11

⇒ y = -11 + (236/21) ⇒ y = 5/21

Por lo tanto, el circuncentro del triángulo ABC es (-59/21, 5/21)

Problema 5: Encuentra el circuncentro de un triángulo cuyas coordenadas son A (3, 8), B (6, 2) y C (-4, 7).

Solución:

Dados los datos,

Los vértices de un triángulo son A (x 1 , y 1 ) = (3, 8), B (x 2 , y 2 ) = (6, 2) y C (x 3 , y 3 ) = (-4, 7).

Sea “O” el circuncentro del triángulo ABC y (x, y) sus coordenadas.

Sea D1 la distancia del circuncentro al vértice A, es decir, OA = D 1 .

Sea D2 la distancia del circuncentro al vértice B, es decir, OB = D 2 .

Sea D3 la distancia del circuncentro al vértice C, es decir, OC = D 3 .

Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos obtenemos

(D 1 ) 2 = (x – x1) 2 + (y – y 1 ) 2 = (x – 3) 2 + ( y – 8) 2

(D 2 ) 2 = (x – x2) 2 + (y – y 2 ) 2 = ( x- 6) 2 + (y – 2) 2

(D 3 ) 2 = (x – x3) 2 + (y – y 3 ) 2 = (x + 4) 2 + (y – 7) 2

Sabemos que las distancias de todos los vértices al circuncentro (O) son iguales, es decir,

OA = OB = OC = circunradio

⇒ re 1 = re 2 = re 3

Ahora, toma D 1 = D 2

(x -3) 2 + (y – 8) 2 = (x – 6) 2 + (y -2) 2

⇒ x2 – 6x + 9 + y – 16y + 64 = x2 – 12x + 36 + y2 – 4x + 4

⇒ 6x – 4y = -33 …….(1)

Ahora, toma D 2 = D 3

(x-6) 2 + (y – 2) 2 = (x + 4) 2 + (y – 7) 2

⇒ x2 – 12x + 36 + y2 – 4x + 4 = x2 + 8x + 16 + y2 – 14y + 49

⇒ 20x – 10y = -25

⇒ 4x – 2y = -5 …..(2)

Ahora, multiplique la ecuación (2) con «2» en ambos lados y reste el resultado de la ecuación (1)

6x – 4y = -33 

8x – 4y = -10

(-) (+) (+)

-2x = -23 ⇒x = 23/2 = 11,5

Ahora, sustituya el valor de x = 23/2 en la ecuación (2)

4(11.5) – 2y = -5

⇒ 46 – 2 años = -5

⇒ 2 años = 51

 ⇒ y = 51/2 = 25,5

Por lo tanto, el circuncentro del triángulo ABC es ( 11.5, 23.5)

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por kiran086472 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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