La fórmula del cociente de diferencia es parte de la definición de la derivada de una función. La derivada de una función se obtiene aplicando el límite cuando la variable h tiende a 0 al cociente de diferencias de una función. Echemos un vistazo a la fórmula del cociente de diferencias, así como a su derivación.
Fórmula del cociente de diferencia
En el cálculo de una sola variable, el cociente de diferencias es el término dado a la fórmula que, cuando h tiende a cero, produce la derivada de la función f. La fórmula del cociente de diferencia se usa para calcular la pendiente de una línea que conecta dos ubicaciones. También se utiliza en la definición de derivada.
La fórmula del cociente de diferencias de una función y = f(x) está dada por,
dónde,
f (x + h) se evalúa sustituyendo x como x + h en f(x),
f(x) es la función dada.
Derivación
Considere la función y = f(x) y una línea secante que pasa por dos puntos en la curva (x, f(x)) y (x + h, f(x + h)). Se representa como una curva a continuación:
Usando la fórmula de la pendiente
, la pendiente de la línea secante es,
Esto prueba la fórmula del cociente de diferencias.
Problemas de muestra
Pregunta 1. Encuentra el cociente de diferencias de la función f(x) = x – 3.
Solución:
Usa la fórmula del cociente de diferencias para f(x) = x – 3.
re = [ f(x + h) – f(x) ] / h
= [ (x + h) – 3 – (x – 3) ] / h
= [ x + h – 3 – x + 3 ] / h
= h/ h
= 1
Pregunta 2. Encuentra el cociente de diferencias de la función f(x) = 4x – 1.
Solución:
Usa la fórmula del cociente de diferencias para f(x) = 4x – 1.
re = [ f(x + h) – f(x) ] / h
= [ 4(x + h) – 1 – (4x – 1) ] / h
= [ 4x + 4h – 1 – 4x + 1 ] / hora
= 4h/h
= 4
Pregunta 3. Encuentra el cociente de diferencias de la función f(x) = 7x – 2.
Solución:
Usa la fórmula del cociente de diferencias para f(x) = 7x – 2.
re = [ f(x + h) – f(x) ] / h
= [ 7(x + h) – 2 – (7x – 2) ] / h
= [ 7x + 7h – 2 – 7x + 2 ] / hora
= 7h/h
= 7
Pregunta 4. Encuentra el cociente de diferencias de la función f(x) = x 2 – 4.
Solución:
Usa la fórmula del cociente de diferencia para f(x) = x 2 – 4.
re = [ f(x + h) – f(x) ] / h
= [ (x + h) 2 – 4 – (x 2 – 4) ] / h
= [ x2 + h2 + 2xh – 4 – x2 + 4 ] / h
= ( h2 + 2xh )/ h
= h (h + 2x)/h
= h + 2x
Pregunta 5. Encuentra el cociente de diferencias de la función f(x) = 3x 2 – 5.
Solución:
Usa la fórmula del cociente de diferencia para f(x) = 3x 2 – 5.
re = [ f(x + h) – f(x) ] / h
= [ 3(x + h) 2 – 5 – (3x 2 – 5) ] / h
= [ 3(x2 + h2 + 2xh ) – 3×2 + 5 ] / h
= (3x 2 + 3h 2 + 6xh – 5 – 3x 2 + 5)/h
= ( 3h2 + 6xh)/h
= 3h (h + 2x)/h
= 3(h + 2x)
Pregunta 6. Encuentra el cociente de diferencias de la función f(x) = x/2.
Solución:
Usa la fórmula del cociente de diferencias para f(x) = x/2.
re = [ f(x + h) – f(x) ] / h
= [ (x + h)/2 – x/2] / h
= [ (x + h – x)/2 ] / h
= (h/2) / h
= 1/2
Pregunta 7. Encuentra el cociente de diferencias de la función f(x) = log x.
Solución:
Usa la fórmula del cociente de diferencias para f(x) = log x.
re = [ f(x + h) – f(x) ] / h
= [ logaritmo(x + h) – logaritmo x ] / h
Usa la propiedad del cociente log a – log b = log (a/b).
= logaritmo [(x + h)/h]/h