Coeficiente de correlación de rango de Spearman en diferentes casos

El coeficiente de correlación de rangos de Spearman o el método o fórmula de diferencia de rangos de Spearman es un método para calcular el coeficiente de correlación de variables cualitativas y fue desarrollado en 1904 por Charles Edward Spearman. En otras palabras, la fórmula determina el coeficiente de correlación de variables como belleza, habilidad, honestidad, etc., cuya medición cuantitativa no es posible. Por lo tanto, estos atributos se clasifican o se ponen en orden de preferencia.

$r_k = 1 - \frac{6\sum{D^2}}{N^3 - N}$

En la fórmula dada,

r _k = Coeficiente de correlación de rango

D = diferencias de rango

N = Número de variables

Tres casos diferentes del coeficiente de correlación de rango de Spearman:

Caso 1: Cuando se dan rangos

En este caso, los rangos de la distribución de frecuencias o variables ya están dados, y el coeficiente de correlación de rangos se calcula en base a esos rangos. La fórmula para calcular la correlación de rango de Spearman es

$r_k = 1 - \frac{6\sum{D^2}}{N^3 - N}$

Ejemplo:

En una competencia de arte, dos jueces otorgaron los siguientes rangos a los 10 participantes:

Juez X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Juez Y 6 2 9 7 1 4 8 3 10 5

Calcule el coeficiente de correlación de rango.

Solución:

Juez X (R ₁ ) Juez Y (R ₂ ) re = R ₁ – R ₂ D ²

1 6 -5 25

2 2 0 0

3 9 -6 36

4 7 -3 9

5 1 4 dieciséis

6 4 2 4

7 8 -1 1

8 3 5 25

9 10 -1 1

10 5 5 25

norte = 10 ∑D2 ⁼ 142

$r_k = 1 - \frac{6\sum{D^2}}{N^3 - N}$

$= 1 - \frac{6\times{142}}{10^3 - 10}$

$= 1 - \frac{852}{990}$

= 1 – 0,860

= 0,14

Coeficiente de Correlación (r _k ) = 0.14

Como la correlación de rango es positiva y más cercana a 0, significa que la asociación entre los rangos de los dos jueces es más débil.

Juez X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Juez Y	6	2	9	7	1	4	8	3	10	5

Juez X (R ₁ )	Juez Y (R ₂ )	re = R ₁ – R ₂	D ²
1	6	-5	25
2	2	0	0
3	9	-6	36
4	7	-3	9
5	1	4	dieciséis
6	4	2	4
7	8	-1	1
8	3	5	25
9	10	-1	1
10	5	5	25
norte = 10			∑D2 ⁼ 142

Caso 2: Cuando no se dan rangos

Cuando no se dan los rangos de las variables o la distribución, entonces el individuo tiene que ordenar los valores mismos. Al clasificar los valores, se debe adoptar un procedimiento uniforme para ambas series de distribución. Por ejemplo, si se otorga el primer rango al valor más bajo de una serie, entonces también se debe seguir el mismo patrón para la segunda serie. Una vez que se ha determinado el rango, se determina el coeficiente de correlación de rango como el primer caso. La fórmula para calcular el coeficiente de correlación de rangos de Spearman es

$r_k = 1 - \frac{6\sum{D^2}}{N^3 - N}$

Ejemplo:

Calcule la correlación de rango de Spearman para los siguientes datos.

Matemáticas 14 15 17 12 dieciséis 11 18 9 10

Contabilidad 4 12 8 10 2 5 9 3 7

Solución:

En el caso dado, hay 9 valores, y la clasificación tanto para X como para Y o Matemáticas y Contabilidad se realiza otorgando la clasificación más alta al valor más alto y la clasificación más baja al valor más bajo. Por lo tanto, el 1er rango se otorga a 9 en la serie X y 2 en la serie Y. De manera similar, el noveno rango se otorga a 18 en la serie X y 12 en la serie Y.

Matemáticas (X) Rango R ₁ Contabilidad (Y) Rango R ₂ re = R ₁ – R ₂ D ²

14 5 4 3 2 4

15 6 12 9 -3 9

17 8 8 6 2 4

12 4 10 8 -4 dieciséis

dieciséis 7 2 1 6 36

11 3 5 4 -1 1

18 9 9 7 2 4

9 1 3 2 -1 1

10 2 7 5 -3 9

norte = 9 ∑D2 ⁼ 84

$r_k = 1 - \frac{6\sum{D^2}}{N^3 - N}$

$= 1 - \frac{6\times84}{9^3 - 9}$

$= 1 - \frac{504}{720}$

= 1 – 0,7

= 0,3

Coeficiente de Correlación (r _k ) = 0.3

Esto significa que existe una correlación de rango positiva de un grado moderado de 0,3.

Matemáticas	14	15	17	12	dieciséis	11	18	9	10
Contabilidad	4	12	8	10	2	5	9	3	7

Matemáticas (X)	Rango R ₁	Contabilidad (Y)	Rango R ₂	re = R ₁ – R ₂	D ²
14	5	4	3	2	4
15	6	12	9	-3	9
17	8	8	6	2	4
12	4	10	8	-4	dieciséis
dieciséis	7	2	1	6	36
11	3	5	4	-1	1
18	9	9	7	2	4
9	1	3	2	-1	1
10	2	7	5	-3	9
norte = 9					∑D2 ⁼ 84

Caso 3: cuando los rangos son iguales

Cuando dos o más valores de una serie tienen el mismo rango, en tales casos, a cada valor se le da el promedio de los dos rangos. Para evitar cualquier error, la fórmula para calcular el coeficiente de correlación de rangos de Spearman es

$r_k = 1 - \frac{6[\sum D^2 + \frac{1}{12}(m_1^3 - m_1) + \frac{1}{12}(m_2^3 - m_2) + ...]}{N^3 - N}$

Aquí, m ₁ , m ₂ , ……. son el número de veces que un valor se ha repetido en la serie dada X, Y, …….., respectivamente.

Ejemplo:

Calcule el coeficiente de correlación de rango de los puntajes obtenidos por 7 estudiantes en una competencia de redacción de ensayos por dos jueces, X e Y.

X 15 12 20 dieciséis 18 20 26

Y 10 15 11 11 25 18 30

Solución:

En el caso dado, hay 7 valores o estudiantes, y los rangos se han dado como el rango más alto al puntaje más alto y el rango más bajo al puntaje más bajo. Por ejemplo, para los puntajes otorgados por el juez X, el 1er rango se otorga al puntaje de 26 y para los puntajes otorgados por el juez Y, el 1er rango se otorga al puntaje de 30.

X Rango R ₁ Y Rango R ₂ D D ²

15 6 10 7 -1 1

12 7 15 4 3 9

20 2.5 11 5.5 -3 9

dieciséis 5 11 5.5 -0.5 0.25

18 4 25 2 2 4

20 2.5 18 3 -0.5 0.25

26 1 30 1 0 0

∑D2 ⁼ 23,5

El juez X ha dado 20 puntos a dos estudiantes que están en el lugar de 2° y 3° rango. Por lo tanto, el promedio de ambos rangos, es decir, (2+3)/2 = 2,5 rango se les ha dado a ambos estudiantes.

Del mismo modo, el juez Y ha otorgado 11 puntajes a dos estudiantes que se encuentran en el lugar de 5° y 6° rango. Por lo tanto, se ha dado a ambos estudiantes el promedio de ambos rangos, es decir, (5+6)/2 = 5,5.

Además, en la serie X, el número 20 se repite dos veces, y en la serie Y, el número 11 se repite dos veces. Por lo tanto, m para la serie X o m ₁ es 2 y m para la serie Y o m ₂ es 2.

$r_k = 1 - \frac{6[\sum D^2 + \frac{1}{12}(m_1^3 - m_1) + \frac{1}{12}(m_2^3 - m_2) + ... ]}{N^3-N}$

$= 1 - \frac{6[23,5 + \frac{1}{12}(2^3 - 2) + \frac{1}{12}(2^3 - 2)]}{7^3 - 7}$

$= 1 - \frac{6[23,5 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}]}{336}$

$= 1 - 6[\frac{24.5}{336}]$

$= 1 - \frac{147}{336}$

= 1 – 0,4375

= 0.5625

Coeficiente de correlación = 0,56

El coeficiente de correlación positivo de 0,56 significa que alrededor del 25% de la variación está relacionada.