Colisiones en dos dimensiones

Una colisión ocurre cuando una fuerza poderosa golpea dos o más cuerpos en un período de tiempo relativamente corto. La colisión es una ocurrencia de una sola vez. Como resultado de la colisión, la energía y el momento de las partículas involucradas cambian. La colisión puede ocurrir como resultado del contacto físico real entre los cuerpos participantes, como una colisión entre dos bolas de billar o una bola y un bate. Puede haber colisiones donde no hay contacto físico directo, como una partícula alfa que choca con un núcleo.

Cualquier colisión está dirigida por tres etapas definibles diferentes, a saber, antes, durante y después del impacto. Como las partículas son independientes antes del choque, las fuerzas de interacción entre ellas son cero. Además, tras el impacto, la fuerza vuelve a cero. Debido a que las partículas entran en contacto entre sí durante la colisión, la fuerza de interacción se vuelve extremadamente fuerte. Las fuerzas dominantes dirigen el movimiento de los cuerpos. Debido a que la cantidad de la fuerza que interactúa se desconoce en la mayoría de las circunstancias prácticas, la segunda ley del movimiento de Newton no se puede usar en tales casos. Las velocidades inicial y final se pueden calcular usando la ley de conservación del momento.

Por ejemplo, considere dos cuerpos con masas m ₁ y m ₂ , moviéndose con velocidades u ₁ y u ₂ . Sufren una colisión debido a la aplicación de una fuerza externa F _ext durante un pequeño intervalo de tiempo y luego las velocidades finales se vuelven v ₁ y v ₂ .

Colisiones elásticas bidimensionales

Pueden darse los siguientes casos en caso de colisión elástica entre dos cuerpos:

(1) Colisión elástica bidimensional en marco de referencia de laboratorio

Consideremos un sistema de dos partículas sin la existencia de fuerzas externas. La primera partícula de masa m ₁ moviéndose con una velocidad inicial de $\vec{v}_{1,i}$ y la segunda partícula de masa m ₂ que se encuentra inicialmente en posición de reposo. Las partículas que interactúan sufren una colisión donde la primera partícula se mueve con velocidad $\vec{v}_{1,f}$ y la segunda partícula con velocidad $\vec{v}_{2,f}$ . El marco de referencia con una partícula en reposo se puede denominar objetivo , el marco de referencia del laboratorio.

Los ángulos θ _1,f y θ _2,f formados por las partículas junto con la dirección positiva hacia adelante de la primera partícula se denominan ángulos de dispersión de laboratorio.

El enunciado del problema es determinar las magnitudes y direcciones de cada uno de los vectores de velocidad finales, $v_{1,f},v_{2,f},θ_{1,f}\ and\ θ_{2,f}$ . La energía cinética total y el momento se conservan en todo el sistema.

Las componentes del momento total se obtienen por,

$\vec{P}^{sys}_i=m_i\vec{v}_{1,i}+m_2\vec{v}_{2,i}\ \ \ \ \ \ \ ..eq(1)\\ P^{sys}_{x,i}=m_1v_{1,i}\ \ \ \ \ \ \ \ ..eq (2)\\ P^{sys}_{y,i}=0$

$\vec{P}^{sys}_f=m_1\vec{v}_{1,f}+m_2\vec{v}_{2,f}\ \ \ \ \ \ \ \ ..eq (3)$

Las componentes de la cantidad de movimiento en el estado final se obtienen por,

$P^{sys}_{x,f}=m_1v_{1,f}cos\theta_{1,f}+m_2v_{2,f}cos\theta_{2,f}\\ P^{sys}_{y,f}=m_1v_{1,f}sin\theta_{1,f}+m_2v_{2,f}sin\theta_{2,f}\ \ \ \ \ \ \ ..eq (4)$

Como se conserva la cantidad de movimiento total, obtenemos,

$P^{sys}_{x,i}=P^{sys}_{x,f}\ \ \ \ \ \ \ \ .......Equation (5)\\ P^{sys}_{y,i}=P^{sys}_{y,f}\ \ \ \ \ \ \ \ ..eq (6)$

Además de las ecuaciones anteriores, obtenemos,

$m_1v_{1,i}=m_1v_{1,f}cos\theta_{1,f}+m_2v_{2,f}cos\theta_{2,f}\ \ \ \ \ \ \ ..eq (7)\\ 0=m_1v_{1,f}sin\theta_{1,f}-m_2v_{2,f}sin\theta{2,f}\ \ \ \ \ \ \ \ ..eq(8)$

Dado que la energía cinética se conserva durante una colisión elástica,

$K^{sys}_i=K^{sys}_f ..eq(9)$

Cálculo de la ecuación (7),

$\frac{1}{2}m_1v^2_{1,i}=\frac{1}{2}m_1v^2_{1,f}+\frac{1}{2}m_2v^2_{2,f} ..eq (10)$

Reescribiendo la ecuación (5) y la ecuación (6) como,

$m_2v_{2,f}cos\theta_{2,f}=m_1(v_{1,i}-v_{1,f}cos\theta_{1,f})\ \ \ \ \ \ \ ..eq (11)\\ m_2v_{2,f}sin\theta_{2,f}=m_1v_{1,f}sin\theta_{1,f}\ \ \ \ \ \ \ ..eq (12)$

Elevando al cuadrado y sumando cada una de las expresiones en la ecuación (9) y la ecuación (10),

$cos^2\theta+sin^2\theta=1\ \ \ \ \ \ ..eq(13) \\ v^2_{2,f}=\frac{m^2_1}{m^2_2}(v^2_{1,i}-2v_{1,i}v_{1,f}cos\theta_{1,f}+v^2_{1,f})\ \ \ \ \ \ \ \ ..eq (14)$

Sustituyendo la ecuación (11) en la ecuación (8), obtenemos,

$\frac{1}{2}m_{1,i}=\frac{1}{2}m_1v_{1,f}+\frac{1}{2}\frac{m^2_1}{m_2}(v^2_{1,i}-2_{1,i}v_{1,f}cos\theta_{1,f}+v^2_{1,f})\ \ \ \ \ ..eq (15)$

Simplificando la ecuación (12), obtenemos,

$0=\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)v^2_{1,f}-\frac{m_1}{m_2}2v_{1,i}v_{1,f}cos\theta-\left(1-\frac{m_1}{m_2}\right)v^2_{1,i}\ \ \ \ \ \ \ ..eq (16)$

Sea ∝ = $\frac{m_1}{m_2}$

Reescribiendo la ecuación (13),

$0=(1+\alpha)v^2_{1,f}-2\alpha v_{1,f}v_{1,f}cos\theta_{1,f}-(1-\alpha)v^2_{1,i}\ \ \ \ \ \ \ ..eq (17)$

Encontrando la solución de la ecuación cuadrática, podemos obtener los siguientes resultados,

$v_{1,f}=\frac{\alpha v_{1,i}cos\theta _{1,f}\pm(\alpha^2v^2_{1,f}+(1-\alpha)v^2_{1,i})^{\frac{1}{2}}}{(1+\alpha)}\ \ \ \ \ ..eq\ (18)$

Cálculo de la ecuación (9),

$\frac{v_{2,fsin\theta_{2,f}}}{v_{2,f}cos\theta_{,f}}=\frac{v_{1,f}sin\theta_{1,f}}{v_{1,i}-v_{1,f}cos\theta_{1,f}}\ \ \ \ \ \ \ ..eq (19)$

Simplificando la ecuación (16), obtenemos,

$tan\theta_{2,f}=\frac{v_{1,f}sin\theta_{1,f}}{v_{1,i}-v_{1,f}cos\theta_{1,f}}\ \ \ \ \ \ \ \ ..eq\ (20)$

Podemos concluir que la relación entre los ángulos de dispersión es independiente de las masas de las partículas que chocan.

Por lo tanto,

el ángulo de dispersión para la segunda partícula se puede calcular mediante,

$\theta_{2,f}=tan^{-1}\left(\frac{v_{1,f}sin\theta_{1,f}}{v_{1,i}-v_{1,f}cos\theta_{1,f}}\right)\ \ \ \ \ \ \ ..eq\ (21)$

Usando la ecuación (10), para calcular la velocidad final de la primera partícula,

$v_{2,f}=\frac{v_{1,f}sin\theta_{1,f}}{\alpha sin\theta_{2,f}}\ \ \ \ \ \ ..eq\ (22)$

(2) Colisión elástica con masas infinitas en dos dimensiones

Supongamos que un cuerpo de masa m ₁ choca con una masa infinita en reposo. Supongamos que su velocidad sea u _n a lo largo de la normal antes de la colisión y en la dirección tangencial sea u _t

Como la cantidad de movimiento se conserva en la dirección tangencial,

metro ₁ tu t = mv _1,_t

v _{1, t} = tu _t

Como la cantidad de movimiento se conserva en la dirección normal,

metro ₁ tu norte = metro ₁ v _1,_n + m2v _2n

En caso de colisión elástica entre cuerpos, la velocidad de acercamiento es igual a la velocidad de separación, por lo tanto,

v _2,n – v _1,n₌ tu norte

Simplificando, obtenemos,

$v_{1,n}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}u_n\\ v_{2,n}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}u_n$

Al aproximar, usamos, m2 >> m1

v1 _,n = -u1 _,n

v2 _,n = 0

(3) Colisión elástica de masas iguales en dos dimensiones

Supongamos que un cuerpo tiene una masa m. El segundo cuerpo tiene la misma masa m y está inicialmente en reposo. Las dos partículas que interactúan sufren colisión. Supongamos que la velocidad es u _n a lo largo de la normal antes del choque y u _t a lo largo de la tangente.

Como la cantidad de movimiento se conserva en la dirección tangencial,

mu _t = mv _1,t

v _{1, t} = tu _t

Como la cantidad de movimiento se conserva en la dirección normal,

mu _n = mv _1,n + mv _2,n

En caso de colisión elástica entre cuerpos, la velocidad de acercamiento es igual a la velocidad de separación, por lo tanto,

v _2,n – v _1,n₌ tu norte

La ecuación se puede resolver aún más para obtener,

$v_{1,n}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}u_n\\ v_{2,n}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}u_n$

Como las masas son iguales, obtenemos, m ₂ = m ₁

v1 _,n = 0

eso es,

v _{2, n}₌ tu norte

(4) Colisión inelástica en dos dimensiones

Para una colisión completamente inelástica, supongamos un sistema que consta de dos partículas m ₁ con velocidad v ₁ y m ₂ con velocidad v ₂ en un ángulo de θ ₁ con respecto a la otra. Después del choque inelástico, ambas masas forman una sola masa M y se mueven con una velocidad final vf _.

La ley de conservación de la energía no es aplicable en un choque inelástico. Las ecuaciones de cantidad de movimiento se pueden generar para masas en las direcciones x e y, cambiando la orientación del objeto con masa m ₁ en la dirección del eje x.

Ahora, obtenemos,

componente x: m ₁ v ₁ + Mv _f cosθ ₂

componente y: m ₂ v ₂ senθ ₁ Mv _f senθ ₂

El resultado final nos deja con dos ecuaciones y dos variables, v _f y θ ₂ . Por lo tanto, cualquier colisión completamente inelástica en dos dimensiones es fácilmente solucionable en comparación con la colisión completamente elástica.

Desviación de una partícula en movimiento por una partícula en reposo

Supongamos un sistema de dos masas, m ₁ moviéndose con una velocidad u ₁ y el segundo cuerpo de masa m ₂ en reposo. Después de la colisión, el primer objeto de masa comienza a moverse con una velocidad de v ₁ y se desvía por el ángulo θ ₁ en la dirección incidente. De manera similar, el segundo objeto de masa comienza a moverse con una velocidad de v ₂ y se desvía por el ángulo θ ₂ en la dirección incidente.

Ahora tenemos,

De acuerdo con la ley de conservación del momento lineal,

Para componentes a lo largo del eje x, tenemos,

metro _{1 tu}₁ = metro 1 v 1 cosθ ₁ + _m 2 _v 2 _cosθ 2 _.. eq ₍ 1)

Para componentes a lo largo del eje y, tenemos,

0=m ₁ v ₁ senθ ₁ -m ₂ v ₂ senθ ₂ ..eq(2)

Dado que el sistema se reduce a la disponibilidad de tres ecuaciones y cuatro variables desconocidas, se vuelve imposible resolver el sistema con solo estos valores.

Problemas de muestra

Problema 1: Una masa de 10 kg viaja con una velocidad de 30 m/s en el eje y positivo. La masa choca con otro objeto de 40 g de masa que se mueve a lo largo del eje y negativo a una velocidad de 50 m/s. Calcular la velocidad final.

Solución:

De acuerdo con la ley de conservación de la cantidad de movimiento, por lo tanto,

Momento antes del impacto = Momento después del impacto

Igualando los valores, obtenemos,

10 × 30 + (0,04) × (-50) = 10,04v

Dado que la partícula de 40 g se mueve en dirección negativa, tenemos,

v = 29,68 m/s

Problema 2: Existe un sistema aislado que contiene tres masas, m ₁ = m ₂ = 2 m y m ₃ = 3 m. Todas las masas viajan en dirección, pero con la misma velocidad inicial equivalente a v ₀ . Los cuerpos chocan y sufren un choque elástico. Calcule la velocidad final máxima posible de cada uno de los tres cuerpos.

Solución:

Energía cinética inicial total en el sistema =

$\frac{1}{2}m_1v_0^2 + \frac{1}{2}m_2v_0^2 + \frac{1}{3}m_3v_0^2=3mv_0^2$

La velocidad máxima se alcanza cuando la velocidad de otras partículas se reduce a cero.

Por lo tanto,

$\frac{1}{2}m_1(v_{1max})^2 = 3mv_0^2$

Sustituyendo los valores de las masas,

Obtenemos,

v _{1 máx} = 2,45 v ₀

v 2 _máx = 1,73 v ₀

v _3max = 1.41v ₀

Problema 3: Una esfera que se mueve con un vector de velocidad golpea una pared vertical. La pared es paralela al vector velocidad. El coeficiente de restitución entre la esfera y la pared es e. ¿Cuál es el vector velocidad de la esfera al golpear la pelota?

Solución:

Calculando el valor,

v _y = 2 m/s

v _x = -e × 2 = -1 m/s

$\vec{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}=(-\hat{i}+2\hat{j})unit$

Problema 4: Considere un cuerpo de masa m kg que se mueve con una velocidad u. La pelota golpea el suelo elásticamente con un ángulo de incidencia, de tal forma que la velocidad antes y después del choque permanece igual. Además, el ángulo de rebote es igual al ángulo de incidencia. Supongamos que la velocidad hacia el suelo es negativa. ¿Cuál será el cambio en el momento paralelo a la superficie?

Solución:

Ya que sabemos que la fuerza que actúa sobre el cuerpo de masa ‘m’ es la fuerza de reacción normal de la superficie. El cambio de cantidad de movimiento tomado en paralelo a la superficie será equivalente a 0, ya que ninguna fuerza paralela actúa sobre la pelota.

Problema 5: Explique las repercusiones posteriores cuando chocan dos masas desiguales.

Solución:

Cuando dos cuerpos de diferente masa chocan, la fuerza que actúa sobre ambos objetos no es igual y de naturaleza opuesta. Ambas partículas que interactúan experimentan aceleraciones desiguales durante la colisión debido a las fuerzas de contacto.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por mallikagupta90 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Colisiones elásticas bidimensionales

Desviación de una partícula en movimiento por una partícula en reposo

Problemas de muestra

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