¿Cómo calcular el volumen de un elipsoide?

La medición es una subrama de las matemáticas que se utiliza para discutir diferentes tipos de formas geométricas como cubo, cilindro, elipsoide, sus áreas y volumen. Se usa para encontrar las ecuaciones geométricas y algebraicas que se usan para medir varios aspectos de objetos o formas como el área de superficie, el volumen, el área de superficie curva, etc. En medición, el volumen se usa para calcular la cantidad de espacio dentro de un objeto 3D que se puede llenar Podemos encontrar el volumen de cualquier objeto sólido como cuadrado, cilindro, elipsoide, etc. En este artículo, aprenderemos a calcular el volumen del elipsoide.

elipsoide

Elipsoide es una figura geométrica tridimensional. Es una superficie cerrada de forma elíptica y se ve como una elipse estructurada. Recibe su nombre de la elipse porque cualquier plano que corte el elipsoide formará una elipse. Tiene tres ejes de simetría rotacional y estos tres ejes son perpendiculares entre sí y se encuentran en un punto que se conoce como el centro del elipsoide. Los elipsoides son de dos tipos:

• Elipsoide oblato: si a = b y a > c, este tipo de elipsoide se conoce como elipsoide oblato.
• Elipsoide alargado: si a = b y c > a, este tipo de elipsoide se conoce como elipsoide alargado.

La ecuación estándar del elipsoide es 

x ² /a ² + y ² /b ² + z ² /c ² = 1

Aquí a ≠ b ≠ c. Si a = b = c entonces ese elipsoide se conoce como esfera. 

Volumen del elipsoide

El volumen del elipsoide es la medida del elipsoide que expresa la cantidad de espacio tridimensional encerrado por una superficie cerrada. 

Como sabemos que la ecuación del elipsoide es (x ² /a ² ) + (y ² /b ² ) + (z ² /c ² ) = 1 donde a, b, c son las longitudes de los semiejes del elipsoide, entonces El volumen se puede calcular mediante la siguiente fórmula:

Volumen del elipsoide = (4/3) × π × a × b × c

El volumen del elipsoide oblato es

Volumen del elipsoide oblato = (4/3) × π × a × a × b

El volumen del elipsoide alargado es

Volumen del elipsoide alargado = (4/3) × π × a × b × b

Ejemplo:

Dado que la longitud de los semiejes es de 5 cm, 6 cm, 4 cm

Entonces el volumen del elipsoide es 

V = (4/3) × π × un × segundo × c

= (4/3) × π × 5 × 6 × 4

= 430/3

= 160

Por lo tanto, el volumen del elipsoide es 160

Determinar el volumen del elipsoide

Como sabemos que la ecuación del elipsoide es 

(x ² /a ² ) + (y ² /b ² ) + (z ² /c ² ) = 1

Supongamos que -a ≤ x ≤ a

Ahora, cortamos el elipsoide con un plano paralelo al plano yz

Entonces, obtenemos una elipse 

(y ² /b ² ) + (z ² /c ² ) = 1 – (x ² /a ² ) 

(y ² /b ² (1 – (x ² /a ² ))) + (z ² /c ² (1 – (x ² /a ² ) )) = 1 

Entonces los semiejes son

p = b√(1 – (x ² /a ² )) y q = c√(1 – (x ² /a ² ))

Como sabemos que el área de la elipse es 

A(x) = πbc(1 – (x ² /a ² )) …..(1)

Ahora, al usar la fórmula de la entrada principal, calculamos el volumen del elipsoide.

V = \límite

Ahora pon el valor de A(x) de la ecuación (1), obtenemos

V = πbc\limi

V = 4/3πbc

Ejemplos de preguntas

Pregunta 1: Encuentra el volumen del elipsoide si las longitudes de los semiejes son 3 cm, 4 cm, 2 cm.

Solución:

Dado,

Longitudes de semiejes de un elipsoide a=3cm, b=4cm, c=2cm

Volumen = (4/3) × π × a × b × c

= (4/3) × π × 3 × 4 × 2

= 32 × pi

= 100,53 cm ³

Entonces, el volumen del elipsoide con medidas dadas es 100.53cm ³ .

Pregunta 2: Encuentra el volumen del elipsoide si las longitudes de los semiejes son 5 cm, 3 cm, 2 cm.

Solución:

Dado,

Longitudes de los semiejes de un elipsoide a = 5 cm, b = 3 cm, c = 2 cm

Volumen = (4/3) × π × a × b × c

= (4/3) × π × 5 × 3 × 2

= 40 × π

= 125,66 ^cm3

Entonces, el volumen del elipsoide con las medidas dadas es 125,66 cm ³ .

Pregunta 3: Encuentra el volumen del elipsoide si las longitudes de los ejes son 6 cm, 4 cm, 2 cm.

Solución:

Dado,

Las longitudes de los ejes de un elipsoide son 6 cm, 4 cm y 2 cm.

Longitud de semiejes = Longitud de ejes/2

a = (6/2) = 3cm

b = (4/2) = 2cm

c = (2/2) = 1cm

Volumen = (4/3) × π × a × b × c

= (4/3) × π × 3 × 2 × 1

= 8× π

= 25,13 cm ³

Entonces, el volumen del elipsoide con las medidas dadas es de 25,13 cm ³ .

Pregunta 4: Encuentra el volumen del elipsoide si las longitudes de los ejes son 12 cm, 6 cm y 2 cm.

Solución:

Dado,

Las longitudes de los ejes de un elipsoide son 12 cm, 6 cm y 2 cm.

Longitud de semiejes = Longitud de ejes/2

a = (12/2) = 6cm

b = (6/2) = 3cm

c = (2/2) = 1cm

Volumen = (4/3) × π × a × b × c

= (4/3) × π × 6 × 3 × 1

= 24× π

= 75,4 cm ³

Entonces, el volumen del elipsoide con las medidas dadas es de 75,4 cm ³ .

Pregunta 5: Encuentra el volumen del elipsoide si la ecuación se da como (x ² /7 ² ) + (y ² /4 ² ) + (z ² /2 ² ) = 1

Solución:

Dado,

Ecuación del elipsoide, (x ² /7 ² ) + (y ² /4 ² ) + (z ² /2 ² ) = 1

Es de la forma (x ² /a ² ) + (y ² /b ² ) + (z ² /c ² ) = 1

De esto podemos derivar longitudes de semiejes. 

un = 7

segundo = 4

c = 2

Volumen = (4/3) × π × a × b × c

= (4/3) × π × 7 × 4 × 2

= (224/3) × π

= 234,57 ^cm3

Entonces, el volumen del elipsoide con medidas dadas es 234.57cm ³ .