La sombra de un objeto se crea cuando se interpone en el camino de la luz que viaja. Cuando los rayos de luz entran en contacto con un objeto vertical opaco, da lugar a una línea horizontal de cierta longitud, a la que llamamos sombra. El ángulo de elevación se utiliza para calcular la longitud de la sombra. Es el ángulo formado por la línea horizontal (sombra) y la línea de visión (horizonte).
Fórmula de longitud de sombra
En la figura anterior, cuando los rayos de luz caen sobre el objeto AB, se crea una línea horizontal o su sombra OB. La línea OA se denomina línea de visión porque el ángulo de elevación θ se forma en el punto O. La fórmula de la longitud de la sombra es igual a la altura del objeto cuya sombra se forma dividida por la tangente del ángulo de elevación.
s = h/bronceado θ
dónde,
s es la longitud de la sombra,
h es la altura del objeto,
θ es el ángulo de elevación.
Derivación
Considere un objeto AB de altura h tal que se forma su sombra de longitud s y el ángulo de elevación es θ.
La figura anterior del objeto AB representa un triángulo rectángulo en el que ∠ABO = 90 o .
Ahora sabemos que en trigonometría, la razón de la tangente de un ángulo es igual al lado opuesto a ese ángulo dividido por su lado adyacente.
Entonces, para el ángulo de elevación θ, tenemos
=> tan θ = AB/OB
Poniendo AB = h y OB = s, obtenemos
=> tan θ = h/s
=> s/h = 1/tan θ
=> s = h/bronceado θ
Esto deriva la fórmula para la longitud de la sombra de un objeto.
Problemas de muestra
Problema 1. Encuentra la longitud de la sombra de un objeto a una altura de 5 m si el ángulo de elevación es de 45 o .
Solución:
Tenemos,
h = 5
θ = 45 o
Usando la fórmula para la longitud de la sombra, tenemos
s = h/bronceado θ
= 5/bronceado 45 o
= 5/1
= 5 metros
Problema 2. Encontrar la longitud de la sombra de un objeto a una altura de 7 m si el ángulo de elevación es de 60 o .
Solución:
Tenemos,
h = 7
θ = 60 o
Usando la fórmula para la longitud de la sombra, tenemos
s = h/bronceado θ
= 7/bronceado 60 o
= 7/√3
= 4,04 metros
Problema 3. Hallar la longitud de la sombra de un objeto a una altura de 12 m si el ángulo de elevación es de 30 o .
Solución:
Tenemos,
h = 12
θ = 30 o
Usando la fórmula para la longitud de la sombra, tenemos
s = h/bronceado θ
= 12/bronceado 30 o
= 12/(1/√3)
= 20,78 metros
Problema 4. Encuentra la altura de un objeto si la longitud de la sombra es de 9 m y el ángulo de elevación es de 55 o .
Solución:
Tenemos,
s = 9
θ = 55 o
Usando la fórmula para la longitud de la sombra, tenemos
s = h/bronceado θ
=> 9 = h/bronceado 55 o
=> h = 9 tan 55 o
=> h = 9 (1,43)
=> h = 12,87 m
Problema 5. Encuentra la altura de un objeto si la longitud de la sombra es de 14 m y el ángulo de elevación es de 65 o .
Solución:
Tenemos,
s = 14
θ = 65 o
Usando la fórmula para la longitud de la sombra, tenemos
s = h/bronceado θ
=> 14 = h/bronceado 65o
=> h = 14 tan 65o
=> h = 14 (2.144)
=> h = 30,01 metros
Problema 6. Encuentra el ángulo de elevación si el objeto tiene una altura de 4 m y la longitud de la sombra es de 9,42 m.
Solución:
Tenemos,
h = 4
s = 9,42
Usando la fórmula para la longitud de la sombra, tenemos
s = h/bronceado θ
=> tan θ = h/s
=> tan θ = 4/9.42
=> bronceado θ = 0,42
=> θ = 23 o
Problema 7. Encuentra el ángulo de elevación si el objeto tiene una altura de 16 m y la longitud de la sombra es de 21,22 m.
Solución:
Tenemos,
h = 16
s = 21,22
Usando la fórmula para la longitud de la sombra, tenemos
s = h/bronceado θ
=> tan θ = h/s
=> bronceado θ = 16/21,22
=> bronceado θ = 0,75
=> θ = 37 o
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA