¿Cómo encontrar el desplazamiento vertical en el movimiento de un proyectil?

Un proyectil se conoce como cualquier objeto lanzado al espacio con solo la gravedad actuando sobre él. La gravedad es la fuerza principal que actúa sobre un proyectil. Esto no implica que otras fuerzas no actúen sobre un proyectil; es solo que su impacto es mínimo en comparación con la gravedad. La trayectoria de un proyectil es el camino recorrido por él. Algunos ejemplos de un proyectil en la vida real son una bala disparada con un arma, una jabalina lanzada por un atleta o una flecha lanzada con un arco.

Movimiento de proyectiles

Cuando un objeto se lanza al aire, viaja a lo largo de una trayectoria curva bajo una aceleración constante que se dirige hacia el centro de la Tierra. El objeto que ha sido lanzado o lanzado al aire se llama proyectil. Se debe impartir alguna fuerza inicial sobre un objeto para convertirse en un proyectil, y el movimiento de un proyectil se conoce como movimiento de proyectil.

Cuando un objeto se lanza por primera vez al aire, va a cierta velocidad, conocida como velocidad o velocidad inicial. El ángulo de proyección describe el ángulo con respecto a la horizontal cuando se lanza el objeto. La altura máxima, el alcance y el tiempo de vuelo de un proyectil están determinados por la velocidad inicial y el ángulo de proyección del proyectil. La fuerza de la gravedad es la única fuerza que actúa sobre un objeto después de haberlo lanzado al aire, ya que las otras fuerzas tienen un impacto insignificante en comparación con la gravedad.

La altura máxima y el alcance del proyectil cambiarán si aumenta o disminuye la velocidad inicial o el ángulo de proyección. La altura y el alcance aumentarán con un aumento en la velocidad inicial, mientras que el impacto del cambio en el ángulo de proyección es diferente en la altura y el alcance máximos. 

La figura representa el movimiento de proyectil de un objeto que fue propulsado en un ángulo de θ con una velocidad inicial de U. O es el punto de proyección . El objeto ascenderá a lo largo de una trayectoria parabólica mientras es desacelerado por la gravedad hasta alcanzar su altura máxima. La componente vertical de la velocidad disminuye a medida que el objeto sube y se vuelve cero cuando alcanza la altura máxima. Después de eso, el objeto caerá hasta que toque el suelo mientras es empujado hacia abajo por la gravedad. El rango horizontal, o rango (OB), es la distancia horizontal entre el punto de proyección y el lugar de aterrizaje. “Tiempo de vuelo” es el tiempo total que tarda el objeto desde llegar a O hasta B.

Un concepto importante en el movimiento de proyectiles es que hay dos movimientos rectilíneos independientes simultáneos:

1. A lo largo del eje x (o) Movimiento horizontal: la velocidad inicial y el ángulo de proyección son los únicos factores que afectan el movimiento horizontal de un objeto.
2. A lo largo del eje y (o) Movimiento vertical: Las condiciones iniciales (velocidad inicial y ángulo de proyección) y la aceleración debida a la gravedad son los factores que afectan el movimiento vertical de un objeto.

Ecuaciones de movimiento para un proyectil

Podemos hacer uso de varias ecuaciones de movimiento para encontrar diferentes parámetros relacionados con el movimiento de un proyectil.

Si se conocen la velocidad inicial, la aceleración y el tiempo de vuelo, la velocidad final se puede determinar utilizando la fórmula siguiente.

v = tu + en

Donde u es la velocidad inicial, a es la aceleración y t es el tiempo de vuelo. 

También podemos determinar el desplazamiento de un proyectil utilizando la velocidad inicial, la aceleración y el tiempo de vuelo, de acuerdo con la siguiente fórmula.

s = tu t+ ½ en ²

Si no se da el tiempo de vuelo y se da el desplazamiento del proyectil, entonces la velocidad final se puede calcular usando la fórmula a continuación.

v ² = tu ² + 2 como

La velocidad inicial y el ángulo de proyección se pueden utilizar para calcular la componente horizontal de la velocidad inicial.

U _x = U cos θ

La velocidad en la dirección horizontal no cambiará ya que el proyectil no experimentará aceleración en esta dirección ya que la aceleración debida a la gravedad actúa verticalmente hacia abajo. Por eso, 

Vx ₌ Ux _{_}

Además, el alcance o desplazamiento horizontal de un proyectil depende de la componente horizontal de la velocidad inicial y el tiempo de vuelo. La ecuación para el alcance o desplazamiento horizontal de un proyectil se da como,

x = U _x t

x = U cosθ t

Al igual que la componente horizontal, la componente vertical de la velocidad inicial también depende únicamente de la velocidad inicial y el ángulo de proyección. Se puede determinar usando la siguiente fórmula.

U _y =U sen θ

La velocidad en la dirección vertical cambiará a medida que el proyectil experimente aceleración debido a la gravedad que actúa verticalmente hacia abajo. Por eso,

V _y = U senθ − gt

Desplazamiento vertical de un proyectil

La altura máxima, o desplazamiento vertical, de un proyectil depende de la velocidad inicial, la aceleración debida a la gravedad y el tiempo de vuelo. La ecuación para el desplazamiento vertical o la altura máxima de un proyectil se da como,

y = U _y t − ½ gt ²

y = U senθ t − ½ gt ²

Donde y es el desplazamiento vertical de un proyectil

U = velocidad inicial de la partícula, 

t = tiempo de vuelo, 

θ = ángulo de proyección, y 

g = aceleración de la gravedad

Ejemplos de preguntas

Pregunta 1: Defina proyectil, movimiento de proyectil y trayectoria y escriba la ecuación de desplazamiento horizontal y vertical en movimiento de proyectil.

Responder:

Proyectil y movimiento de proyectil: cuando un objeto se lanza al aire, viaja a lo largo de una trayectoria curva bajo una aceleración constante que se dirige hacia el centro de la Tierra. El objeto que ha sido lanzado o lanzado al aire se llama proyectil y el movimiento de un proyectil se conoce como movimiento de proyectil.

Trayectoria: La trayectoria de un proyectil es el camino recorrido por él.

Desplazamiento horizontal en movimiento de proyectil: El alcance horizontal, o alcance, es la distancia horizontal entre el punto de proyección y el lugar de aterrizaje. El alcance o desplazamiento horizontal de un proyectil depende de la componente horizontal de la velocidad inicial y el tiempo de vuelo.

La ecuación para el alcance o desplazamiento horizontal de un proyectil se da como,

x = U cosθ t

Donde x es el desplazamiento horizontal de un proyectil, U = velocidad inicial de la partícula, t = tiempo de vuelo y θ es el ángulo de proyección.

El desplazamiento vertical en el movimiento de un proyectil: La altura máxima, o desplazamiento vertical, de un proyectil, es la posición vertical más alta a lo largo de su trayectoria. Depende de la velocidad inicial, la aceleración de la gravedad y el tiempo de vuelo. La ecuación para el desplazamiento vertical o la altura máxima de un proyectil se da como,

y = U senθ t − ½ gt ²

Donde y es el desplazamiento vertical de un proyectil, U = velocidad inicial de la partícula, t = tiempo de vuelo, θ es el ángulo de proyección y g = aceleración de la gravedad

Pregunta 2: Se lanza una pelota con una velocidad de 35 m/s en una dirección que forma un ángulo de 60° con la horizontal. Determine el desplazamiento vertical del proyectil de la pelota si el intervalo de tiempo es de 4 segundos. (g = 9,8 m/s ² )

Responder:

Dados los datos,

Velocidad (u) = 35 m/s

Intervalo de tiempo = 4 segundos

Ángulo (θ) = 60°

Aceleración debida a la gravedad = 9,8 m/s2

Tenemos,

El desplazamiento vertical en el movimiento de proyectil de una partícula viene dado por:

y = u senθ t – ½ g t2

y = 35 × sen 60° × 4 – ½ × 9,8 × (4)2

= 121,243 – 78,4          {sen 60° = √3/2}

= 42,84 metros

Por tanto, el desplazamiento vertical del proyectil de la partícula es de 42,84 m.

Pregunta 3: Determinar el desplazamiento vertical de un proyectil de un cuerpo lanzado a 50 m/s en una dirección que forma un ángulo de 45° con la horizontal y el intervalo de tiempo es de 2,5 seg. (g = 9,8 m/s ² )

Responder:

Dados los datos,

Velocidad (u) = 50 m/s

Intervalo de tiempo = 2,5 segundos

Ángulo (θ) = 45°

Aceleración debida a la gravedad = 9,8 m/s ²

Tenemos,

El desplazamiento vertical en el movimiento de proyectil de una partícula viene dado por:

y = u senθ t – ½ gt ²

y = 50 × sen 45° × 2,5 – ½ × 9,8 × (2,5)2

= 88,388 – 30,625 {sen 45° = 1/√2}

= 57.763m     

Por tanto, el desplazamiento vertical del proyectil de la partícula es de 57,763 m.

Pregunta 4: Encuentra la velocidad a la que se lanza un objeto, formando un ángulo de 30° con la horizontal, y el desplazamiento vertical del proyectil de la pelota, y el intervalo de tiempo son 35m y 5 segundos. (g = 10 m/s ² )

Responder:

Dados los datos,

El desplazamiento vertical del proyectil (y) = 35 m

Intervalo de tiempo = 5 segundos

Ángulo (θ) = 30°

Aceleración debida a la gravedad = 10 m/s ²

Tenemos,

El desplazamiento vertical en el movimiento de proyectil de una partícula viene dado por:

y = u senθ t – ½ gt ²

⇒ 35 = u × sen 30° × 5 – ½ × 10 × (5) ²   

⇒ 35 = 2,5 u – 125 {sen 30° = ½}

⇒ 2.5u = 160 ⇒ u = 64 m/s

Por tanto, la velocidad a la que se lanza un objeto es de 64 m/s.

Pregunta 5: Se lanza una pelota a una velocidad de 40 m/s y el desplazamiento vertical del proyectil de la pelota y el intervalo de tiempo son 45 m y 3,5 segundos. Ahora determina el ángulo que forma la pelota con la horizontal. (g = 10 m/s2)

Responder:

Dados los datos,

El desplazamiento vertical del proyectil (y) = 45 m

Intervalo de tiempo = 3,5 segundos

Velocidad (u) = 40 m/s

Aceleración debida a la gravedad = 10 m/s ²

Tenemos,

El desplazamiento vertical en el movimiento de proyectil de una partícula viene dado por:

y = u senθ t – ½ gt ²

⇒ 45 = 40 × sen θ × 3,5 – ½ × 10 × (3,5) ²  

⇒ 45 = 140 sen θ – 61,25       

⇒ 140 sen θ = 45 + 61,25 = 106,25

⇒ sen θ = 106,25/140 = 0,7589 

⇒ θ = sen ^-1 (0,7589) = 49,37°