¿Cómo encontrar el Determinante de una Array?

En matemáticas, una array es un conjunto de números o símbolos en forma de rectángulo o cuadrado agrupados en filas y columnas para representar un objeto matemático o una de sus cualidades. Por ejemplo, $\begin{vmatrix}{a}&b&c\\p&q&r\\s&t&u\end{vmatrix}$ es una array cuadrada. Por otro lado, $\begin{vmatrix}{a}&b&c\\p&q&r\end{vmatrix}$ es una array rectangular.

Determinante de una array

El determinante de la array es el producto de los componentes de cualquier fila o columna y sus respectivos cofactores. Sólo existen para arrays cuadradas, es decir, las que tienen igual número de filas y columnas. El determinante de cualquier array cuadrada A está representado por detA (o) |A|. A veces se representa por el signo. Calcular los determinantes de arrays de 1 × 1 y 2 × 2 es muy sencillo, pero el procedimiento se vuelve más complicado a medida que crece el rango de la array. Los menores y los cofactores están involucrados en el proceso de determinación del determinante de una array.

Propiedades del Determinante

El determinante de una array y su propia transpuesta son siempre iguales, es decir, $\begin{vmatrix}{a}&b&c\\l&m&n\\x&y&z\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{a}&l&x\\b&m&y\\c&n&z\end{vmatrix}$
Intercambiar dos filas o columnas cualesquiera de una array cambiaría el signo de su determinante, es decir, $\begin{vmatrix}{a}&b&c\\l&m&n\\x&y&z\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}{a}&b&c\\x&y&z\\l&m&n\end{vmatrix}$ .
El determinante de una array con dos filas o columnas idénticas cualesquiera es cero, es decir, $\begin{vmatrix}{l}&m&n\\l&m&n\\x&y&z\end{vmatrix}=0=\begin{vmatrix}{l}&l&x\\m&m&y\\n&n&z\end{vmatrix}$ .
El determinante de una array con ceros como elementos de cualquiera de sus filas o columnas es cero, es decir, $\begin{vmatrix}{0}&0&0\\l&m&n\\x&y&z\end{vmatrix}=0$
Multiplicar cada fila de un determinante con una constante m también aumentaría el valor del determinante m veces, es decir, $\begin{vmatrix}{ka}&kb&kc\\l&m&n\\x&y&z\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}{a}&b&c\\l&m&n\\x&y&z\end{vmatrix}$ .

Determinante de la array 1 × 1

Una array de 1 × 1 es una fila con solo una fila y una columna y, por lo tanto, solo un elemento. El determinante de toda array 1 × 1 siempre es igual al elemento de la array.

Ejemplo: Si la array A = [69] _{1 × 1} , entonces det A o |A| = 69.

Determinante de una array de 2 × 2

Dada la array A = $\begin{vmatrix}{a}&b\\c&d\end{vmatrix}$ entonces su determinante viene dado por ad – bc. Simplemente se calcula multiplicando en cruz los componentes de arriba a la izquierda a abajo a la derecha y luego encontrando la diferencia de los dos.

Ejemplo: Evaluar, $\begin{vmatrix}{4}&7\\5&8\end{vmatrix}.$

Aquí, a = 4, b = 7, c = 5 y d = 8.

Por lo tanto, |A| = 4(8) – 5(7)

|A| = −3

Determinante de una array de 3 × 3

Para encontrar el determinante de arrays de 3 × 3, necesitamos entender el término menor de un elemento,

Menor de un elemento

El determinante de una array cuadrada de cualquier orden derivada de la eliminación de la fila y la columna que contiene el elemento es el menor del elemento.

Ejemplo: Encuentra el menor de 6 en la array $\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right].$

Solución:

Dado que 6 se encuentra en la segunda fila y la tercera columna de la array dada, su array sería igual al determinante de la array obtenida al eliminar la segunda fila y la tercera columna.

Menor de 6 = $\left|\begin{array}{cc}1&2\\7 & 8\end{array}\right|$

= 8 × 1 – 2 × 7

= 8 – 14

= -6

Se deben seguir los siguientes pasos,

Seleccione cualquier fila o columna. Para encontrar el determinante, normalmente comenzamos con la primera fila.

Determine los cofactores de cada uno de los elementos de fila/columna que elegimos en el Paso 1.

Multiplique los elementos de la fila/columna del Paso 1 por los cofactores apropiados del Paso 2.

Sume todos los productos del Paso 3 para obtener el determinante de la array.

Alternativamente, la siguiente fórmula también se puede utilizar para este propósito:

|A| = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − ej)

Problemas de muestra

Pregunta 1. Encuentra el menor de 9 en la array $\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right]$ .

Solución:

Dado que 9 se encuentra en la tercera fila y la tercera columna de la array dada, su array sería igual al determinante de la array obtenida al eliminar la tercera fila y la tercera columna.

Menor de 9 = $\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\4 & 5\end{array}\right|$

= 1 × 5 – 2 × 4

= 5 – 8

= -3

Pregunta 2. Encuentra el valor de |4A| si A = $\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & -1\\1 & 2 & 2\\0 & 3 & 4\end{array}\right]$ .

Solución:

un = $\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & -1\\1 & 2 & 2\\0 & 3 & 4\end{array}\right]$

Así, 4A = $\left[\begin{array}{lll}4 & 4 & -4\\4 & 8 & 8\\0 & 12 & 16\end{array}\right]$

Ahora, |4A| = 4 (128 – 96) – 4 (64 – 0) – 4 (48 – 0)

= 4(32) – 4(64) – 4(48)

|4A| = -320

Pregunta 3: Encuentra x si el determinante de la array $\left[\begin{array}{cc}4&8\\2 & x\end{array}\right]$ es 0.

Solución:

Dado: A = $\left[\begin{array}{cc}4&8\\2 & x\end{array}\right]$

|A| = 4(x) – 8(2)

= 4x – 16

Desde |A| = 0.

⇒ 4x – 16 = 0

o, 4x = 16

⇒ x = 4

Pregunta 4: Evaluar: $\left[\begin{array}{cc}2&8&5&-3\\0&1&3&4\\6&24&15&-9\\7&2&1&10\end{array}\right]$ . Utilizar las propiedades de los determinantes.

Solución:

Claramente, los elementos de la tercera fila tienen 3 como factor común. Se puede representar como:

$\left[\begin{array}{cc}2&8&5&-3\\0&1&3&4\\6&24&15&-9\\7&2&1&10\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{cc}2&8&5&-3\\0&1&3&4\\2&8&5&-3\\7&2&1&10\end{array}\right]$

Dado que la primera y la tercera fila de la array dada ahora son iguales, usando la tercera propiedad, el valor de la array sería cero.

|A| = 3 × 0

|A| = 0

Pregunta 5: Encuentra el valor de (a ² + b ² – c ² )|A| si A = $\begin{vmatrix}0&c&-b\\-c&0&a\\b&-a&0\end{vmatrix}$ .

Solución:

|A| = 0(0(0) – a(a)) – c(0(-c) – a(b)) + (-b)((-c)(-a) – 0(b))

= 0 × (a ² ) − c(0 − ab) − b(ac – 0)

= 0

Por lo tanto, (a ² + b ² – c ² )|A| = (a ² + b ² – c ² )(0)

⇒ (a ² + b ² – c ² )|A| = 0

Pregunta 6: Encuentra t si el determinante de la array $\left[\begin{array}{cc}0&x\\5&3\end{array}\right]$ es 10.

Solución:

Dado: A = $\left[\begin{array}{cc}0&x\\5&3\end{array}\right]$

|A| = 3(0) – 5(x)

= 0 – 5x

= -5x

Desde |A| = 10.

⇒ -5x = 10

⇒ x = -2

Pregunta 7: Encuentra x si el determinante de la array $\left[\begin{array}{cc}5&1\\3&x\end{array}\right]$ es 12.

Solución:

Dado: A = $\left[\begin{array}{cc}5&1\\3&x\end{array}\right]$

|A| = 5(x) – 3(1)

= 5x – 3

Desde |A| = 12

⇒ 5x – 3 = 12

⇒ 5x = 15

⇒ x = 3

Pregunta 8: Evaluar: $\begin{vmatrix}{1}&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}.$

Solución:

Aquí, a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, e = 5, f = 6, g = 7, h = 8, i = 9.

Así, |A| = 1(5(9) – 6(8)) – 2(4(9) – 6(7)) + 3(4(8) – 5(7))

= 1(45 – 42) – 2(36 – 42) + 3(32 – 35)

= 1(3) – 2(-6) + 3(-3)

= 3 + 12 – 9

⇒ |A| = 0

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por kamaljeet69420 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Determinante de una array

Problemas de muestra

Deja una respuesta Cancelar la respuesta